$\sum_{n>1}\Lambda(n)e^{-nz}$ et $L(s,\chi)$

Bonjour à tous,

$W(z) = \sum_{n=1}^\infty \Lambda(n) e^{-nz}, \Re(z) > 0$ encode l'hypothèse de Riemann généralisée de toutes les fonctions L de Dirichlet. Parce que $e^{2i \pi an/q}1_{\gcd(n,q)=1}$ est une combinaison linéaire de caractères de Dirichlet, le théorème des résidus appliqué à la transformée de Mellin inverse des $\Gamma(s) \frac{L'}{L}(s,\chi)$ donne que pour chaque $a/q \in \mathbb{Q}$, $W(z+2i \pi a/q)$ est une série sur les zéros des $L(s,\chi), \chi \bmod q$
$$ W(z+2i \pi \frac{a}{q}) - \sum_{p | q} \sum_{l \ge 1} \log(p)e^{-p^l (z+2i \pi \frac{a}{q})}= \sum_{\chi \bmod q} \frac{\widehat{\chi}(a)}{\phi(q)}\sum_\beta \text{Res}_{s = \beta}(z^{-s}\Gamma(s)\frac{-L'}{L}(s,\chi))$$ $$ = \sum_{\chi \bmod q} \frac{-\widehat{\chi}(a)}{\phi(q)}\left(\underset{\beta\text{ zéros non triviaux de } L(s,\chi)}{\qquad\sum\qquad \Gamma(\beta) z^{-\beta}} + \sum_{k=-\infty}^1 \text{Res}_{s=k}(z^{-s}\Gamma(s)\frac{L'}{L}(s,\chi))\right)$$ où $\widehat{\chi}(a) = \sum_{n=1}^q \chi(n) e^{-2i \pi na/q} $. En ce sens les zéros non-triviaux des $L(s,\chi)$ ne sont pas du tout indépendants d'un $\chi$ à l'autre.

Auriez-vous en tête une propriété globale des fonctions L de Dirichlet qui serait basée plus ou moins directement sur $W(z)$ comme une fonction analytique de $z$ complexe ?

Une autre piste c'est de regarder en quoi $W(z)$ est différente de $V(z) = \sum_{n=1}^\infty \nu(n) e^{-nz}$ où les $\nu(n)$ sont les coefficients de la dérivée logarithmique de $F(s) = L(s,\chi_5 )+ L(s,\overline{\chi_5})$ ou d'une autre combinaison linéaire de fonctions L. La dérivée logarithmique de $L(s,\chi_5 \psi)+ L(s,\overline{\chi_5}\psi)$ c'est $\sum_{n=1}^\infty \nu(n) \psi(n) n^{-s}$ ce qui nous renseigne sur le méromorphisme, les pôles et la croissance des $\sum_{n=1}^\infty \nu(n) e^{2i \pi an/q}n^{-s}$ et les formules explicites des $V(z+2i \pi a/q)$.

L'équation fonctionnelle de $\zeta(s)$ donne que $W(x) -\frac{1}{x}+\sum_\rho \Gamma(\rho) x^{-\rho} \approx \sum_\rho \Gamma(\rho) x^{\rho-1} \approx \sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)-1}{n} e^{-x/n}$ quand $x \to \infty$ ce qui donne encore plus de formules pour $W(z)$.

La formule de Stirling donne que $\sum_{L(\beta,\chi)=0}\Gamma(\beta)z^{-\beta}$ converge pour $\text{arg}(z)\in(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Tout marche à peu près pareil avec $\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^c} e^{-nz}$. Par contre si on regarde $\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n)e^{-n^2z}$ on des formules similaires mais qui ne convergent que pour $\text{arg}(z)\in(\frac{-\pi}{4},\frac{\pi}{4})$ ce qui ne permet plus de lier directement les zéros non-triviaux de $\zeta(s)$ à ceux de $L(s,\chi)$, donc $W(z)$ est assez unique en son genre.