Nombre de Mersenne puissance de $p$

Attention : un nombre de Mersenne est de la forme : ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1,\quad n\geq 1} {\displaystyle .} {\displaystyle}$

Bonjour,
En tous cas, si la question est "se peut-il que $2^n-1 = p^k$ avec $ p, n,k \in \N \setminus\{0;1\}$" ?, alors la réponse est NON.
$\forall p,n,k \in \N\setminus\{0;1\},\:\:2^n-1 = p^k \implies p^k +1 \equiv 0 \mod4 \implies \ p \:\text{et}\: k\:\text{ impairs}.$
On déduit: $2^n =(p+1)A$ où $A = \displaystyle{ \sum_{i=0}^{k-1} (-p)^{i}}$ . Alors $2^n$ est divisible par $A$ qui est un nombre impair différent de $1$, et l'on sait la chose impossible.