Démontrer $\forall$ $n$ que le pgcd(a, b)=1

vorobichek · October 2018

Bonjour, je fais un devoir d'arithmétique et un exercice m'a posé beaucoup de problèmes. J'ai finalement trouvé comment faire, mais c'est trop facile et trop court. Du coup je doute. Trop facile pour être vrai? :-D Pourriez-vous donner votre avis?

On demande de démontrer que :
\[pgcd(n^3 + 2n \; , \; n^4 + 3n^2 + 1) = 1\]

Ma réponse : supprimée

[Dès lors que quelqu'un s'est donné la peine de répondre, il n'est pas correct d'effacer tout ou partie du message initial de la discussion. Je remets ton texte en le rayant. AD]
cherchons le $pgcd(a,b)$ avec $a=n^3+2n$ et $b=n^4+3n^2+1$.

$n^3+2n$ peut être factorisé par $n$ : $n(n^2+2)$. Dans ce cas $pgcd(a,b)$ est soit le facteur premier de $n$, soit de $n^2+2$.

En faisant la division euclidienne de $b=n^4+3n^2+1$ par $n$, on obtient $n(n^3+3n)+1$. Donc $n$ divise $b$ ssi il divise $n^4+3n^2+1?n(n^3+3n)=?1$ *. $?1$ n'est divisible que par $1$

On divise maintenant $b=n^4+3n^2+1$ par $n^2+2$, on obtient $(n^2+2)(n^2+1)?1$. Donc $n^2+2$ divise $b$ ssi il divise $n^4+3n^2+1?(n^2+2)(n^2+1)=1$. Encore une fois $1$ n'est divisible que par $1$.

Conclusion $pgcd(n^3+2n,n^4+3n^2+1)=1$

Est-ce que cela tient la route?

* - j'utilise ici la correction de TD

GaBuZoMeu · October 2018

vorobichek écrivait :

> $n^3 + 2n$ peut être factorisé par $n$ : $n(n^2 +2)$. Dans ce cas $pgcd(a,b)$ est soit le facteur premier de $n$, soit de $n^2 + 2$.

Tu penses qu'un pgcd est nécessairement un nombre premier ? Ou alors tu penses que si un entier divise $n(n^2+2)$, alors il divise $n$ ou il divise $n^2+2$ ?
Ou alors voulais-tu dire "Soit $p$ un nombre premier diviseur commun
de $a$ et $b$. Alors $p$ divise $n$, ou $p$ divise $n^2+2$." ?

À mon avis, le plus simple est :
Les diviseurs communs de $n^3 + 2n$ et $n^4 + 3n^2 + 1=(n^3+2n) n +n^2+1$ sont les diviseurs communs de $n^2+1$ et $n^3 + 2n=(n^2+1)n+n$, qui sont les diviseurs communs de $n$ et $n^2+1$, qui sont les diviseurs communs de $1$ et $n$.

Math Coss · October 2018

Pas vraiment. Pourquoi le pgcd serait-il premier ? Pourquoi ne serait-il pas le produit d'un facteur premier de $n$ (ou plusieurs) et d'un facteur premier de $n^2+2$ (ou plusieurs) ?

Par exemple, si $a=90=2\times45$ et $b=36$, le pgcd de $a$ et $b$ est le produit d'un facteur premier de $2$ et de deux facteurs premiers (égaux) de $45$.

Ensuite, quel rapport entre la condition « $n$ divise $b$ » et le pgcd de $n$ et $b$ ? (Idem avec $n^2+2$.) Par exemple, $12$ ne divise pas $18$ et pourtant, le pgcd de $12$ et $18$ n'est pas $1$.
Autrement dit, tu justifies correctement que $n$ divise $b$ SSI $n$ divise $1$, et cette condition est (en général) fausse : pour autant, tu ne peux pas en conclure que $n$ et $b$ sont premiers entre eux.

Bref : il y a deux erreurs de raisonnement. Pourtant, il n'y a pas grand-chose à faire pour transformer ta preuve en un raisonnement correct. Vois-tu quoi ?

ev · October 2018

Tu travailles avec des entiers, pas avec des polynômes.

Dans ce cadre, la phrase
$n^3 + 2n$ peut être factorisé par $n$ : $n(n^2+2)$. Dans ce cas $pgcd(a,b)$ est soit le facteur premier de $n$, soit de $n^2 + 2$.
n'est pas correcte.

Refais les mêmes calculs en utilisant l'algorithme d'Euclide (pas avec le reste optimal)
et tu obtiendras le même résultat de façon correcte, c'est-à-dire sans inventer de théorème.

e.v.

nodgim · October 2018

Là, en appliquant bêtement l'algorithme d'Euclide, ça marche très bien, et sans se creuser les méninges.

Rescassol · October 2018

Bonjour,

Bézout: $-(n^3+2n)P+(n^2+1)Q=1$ avec $P=n^3+2n$ et $Q=n^4+3n+1$.

Cordialement,

Rescassol

ev · October 2018

Avec une main dans le dos.

e.v. 80574

vorobichek · October 2018

Merci beaucoup à tout le monde! Je tente cette année de réaliser mon ancien rêve (faire les maths). Le raisonnement mathématique n'est pas évident.. Cela fait 15 ans que je n'ai pas fait et je ne l'ai jamais fait en français. Mais avec vos commentaires, tout est clair.

J'enlève ma "solution" du message, si jamais d'autres étudiants passes sur ce sous-forum.

Je voulais dire "composé des facteurs premiers", mais de toute façon c'est inutile.

@ev, pourquoi la phrase n'est correcte? Pour moi l'algorithme d’Euclide est la même chose que la division euclidienne. Pourrais tu développer pourquoi on ne peut pas dire "factoriser"? Pour moi $n^2 +n= n(n+1)$ est équivalant à "transformer la somme en produit de deux facteurs" ou "factoriser" en plus cours.

PS @ev, j'ai vu ton dernier message. Effectivement, c'est facile. Je n'y est pas pensé. On a eu deux exos de ce type + la correction, pas très compréhensible, est comme celle qui était dans mon message initial.

GaBuZoMeu · October 2018

Supprimer ce que tu avais écrit n'est pas correct : ça rend incompréhensibles les réponses que les autres intervenants ont faites.
Il y a la possibilité d'indiquer clairement que ce qu'on a écrit est faux (par exemple en barrant).

vorobichek · October 2018

@GaBuZoMeu, j'ai sauvegardé le message et je peux le remettre. C'est fait justement pour rendre incompréhensible les réponses. J'ai supprimé parce que on est sensé faire les devoirs seuls (plus au moins) et non trouver des réponses faites sur internet. Je sais qu'il y a d'autres étudiants de ce L2 ici. Mais si vous pensez qu'il vaut mieux remettre, je vais recorriger le message.