Produits d'entiers
dans Arithmétique
Bonjour,
existe-t-il des entiers $a,b$ (en base $n$) tels que $a.b= ab$ et des entiers $a,b,c$ tels que $a.b.c=abc$?
Merci,
Apollonius
existe-t-il des entiers $a,b$ (en base $n$) tels que $a.b= ab$ et des entiers $a,b,c$ tels que $a.b.c=abc$?
Merci,
Apollonius
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
b * a < b * 10 < " ba" < 10².................===== >
c * b * a < c * 10² < "cba" < 10 ^3........=====>
etc....
-- Schnoebelen, Philippe
Pour $a.b = ab$, on remarque que $ab = ba$ que si $a = b$ or on a toujours $a.b = b.a$. Il faudrait alors que $a$ soit égal à $b$. En base $10$, il n'y a des produit de chiffres qui peuvent donner autant de ''units'' que le nombre de facteurs; ce sont les chiffres $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ et $9$.
Aucun chiffre $a$ de cette liste ne donne $a.a = aa$. Donc il n'y a que $a = b = 0$ qui vérifie la condition.
On peut dire la même chose pour les nombres.
On pourra aussi tenir le même raisonnement pour $a.b.c = abc$
Cordialement
Une petite idée élémentaire, ça pourrait marcher peut-être!
Imagine ton nombre "a" par exemple est un nombre de trois chiffres I , J, K; si on dispose b nombres verticalement composés comme I , J, K et qu'on fait leur somme en tirant un trait après le b-ième nombre I,J,K on doit trouver un nombre dont le nombre de chiffres est au moins égal à la somme des chiffres composants a + la somme des chiffres composant b; il est au plus égal à cette somme +1 au plus;
I,J,K
I,J,K
I,J,K
. . .
. . .
En commençant par additionner les éléments du premier ordre c'est à dire les K, on doit obtenir un K comme unités du premier ordre plus une retenue qu'on va rajouter ensuite à J... Quelque soit b, pour avoir ce k en début du résultat il faut que k=0 ou 4 ou 5 ou 6
On commence par 0 et on regarde ça peut mener où… si on trouve une impossibilité (en tenant compte des retenues qu'on peut faire hériter aux ordres supérieurs) on passe à k=4 … ainsi de suite ( en tenant compte que le produit transformé en somme peut avoir comme nombre de chiffres la somme des chiffres constituant a et b au moins soit leur somme augmentée de 1 au plus)….