Séparation d'une suite de nombres entiers

rafykfan
rafykfan
dans Arithmétique
Bonjour,
L'exercice n'est pas difficile, mais je cherche une méthode élémentaire pour le résoudre (sans mise en équation ou recherche de racines)
Il s'agit de séparer les nombres 2,3,5,7,11,13,17 en deux groupes tels que la différence entre les produits obtenus en multipliant les nombres qui figurent dans chaque groupe soit égale à 1
P=G1G2= 510510
G1-G2=1
Merci pour votre aide

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Quoi de plus élémentaire que la recherche exhaustive ? 
    sage: L = [nth_prime(k) for k in range(1,8)]
sage: def coupe(L):
....:     l = len(L)
....:     for n in range(2^(l-1)):
....:         tmp = ZZ(n).bits()
....:         tmp+= (l-len(tmp))*[0]
....:         L1 = [L[p] for p in range(len(tmp)) if tmp[p]==1]
....:         L2 = [L[p] for p in range(len(tmp)) if tmp[p]==0]
....:         # print L1, L2, abs(prod(L1)-prod(L2))
....:         if abs(prod(L1)-prod(L2))==1:
....:             print L1, L2
....:             
sage: coupe(L)
[5, 11, 13]  [2, 3, 7, 17]
    Sinon, à la main, on peut chercher les produits d'éléments de $\{2,3,5,7,11,13\}$ égaux à $\pm1$ modulo $17$. Il n'y en a que trois : $3\times11$ ; $2\times3\times5\times13$ et $5\times11\times13$. C'est plus facile que de faire des calculs en entier(s).
  • rafykfan
    rafykfan
    Merci beaucoup Math Coss; si par hasard tu trouves une méthode plus élémentaire merci de me faire signe (je veux dire sans "modulo");
    Je suis parti de la différence de G1(G1+1)=510510; l'idée c'est de faire la somme d'un nombre et de son carré en raisonnant sur les propriétés suivantes: 1/ le carré d'un nombre et le carré de son dernier chiffre sont terminés par le même chiffre, 2/ le carré d'un nombre ne peut être terminé par l'un des chiffres 2,3,7,8...! On retrouve quand même 714 en mettant deux nombres l'un en dessus de l'autre (tirer un trait, comme à l'école) et faire la somme dont le premier est le carré de G1 possède nécessairement 6 chiffres et que G1 en possède 6 au plus…! La somme est 510510! On joue sur ces propriétés et puis sur les possibles retenues en faisant les additions; la retenue est au plus égale à 1 étant donné que c'est une somme de deux nombre)! On trouve alors 714 mais après...j'ai tâtonné pour rassembler 2,3,7,17! 714 divisible par 2, 357 divisible par 3 où on trouve 119; 119 est un nombre de 3 chiffres et on ne peut l'obtenir qu'en multipliant un nombre de deux chiffres au moins par un nombre de 1 chiffre au plus... mais ce n'est pas long comme méthode???
  • Math Coss
    Math Coss
    En effet, c'est évidemment cela qu'il faut faire ! Vu que $G_1(G_1+1)=510\,510$, la racine carrée de $510\,510$ est entre $G_1$ et $G_1+1$. Le calcul donne $510\,510=714\times715$, c'est-à-dire $G_1=714$ et $G_2=715$ et il n'y a plus qu'à factoriser $714$ et $715$. Vu qu'on connaît les facteurs possibles, cela va vite !

    Pour calculer la racine carrée à la main (c'est toujours plus facile en connaissant le résultat...), on commence par calculer approximativement $500\,000=50\times10^4$ et $7^249$, donc la racine carrée est un peu plus grande que $700$. Écrivons-la sous forme $700+x$. Alors $1400x+x^2=510\,510-490\,000=20\,510$. En gardant en tête que $x$ est beaucoup plus petit que $700$, $x^2$ est beaucoup plus petit que $1400x$ donc $x\simeq\frac{20510}{1400}=14{,}65$. C'est assez précis pour être tenté de vérifier que $G_1=714$ et $G_1+1=715$.
  • rafykfan
    rafykfan
    Merci Math Coss, tout à fait
    Amicalement
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut. se faire

    Je pense que tu sais résoudre une équation du second degré !

    Avec $G_{1}(G_{1} + 1) = G_{1}^2 + G_{1} = 510510$ tu as rapidement la valeur de $G_1$. Le reste peut se faire aussi facilement.
  • rafykfan
    rafykfan
    L'idée c'est de trouver la solution pour des élèves ne sachant que pas résoudre des problèmes du second degrés. Merci
  • Math Coss
    Math Coss
    En principe, tu as raison. En pratique, on peut discuter. Avec une machine ou à la main, il est (un peu) plus rapide de calculer $\sqrt{510\,510}$ (à la main, une approximation suffit) que de calculer $4\times510\,510+1$ puis $\sqrt{2\,042\,041}$.
  • rafykfan
    rafykfan
    Merci encore Math Coss
  • nodgim
    nodgim
    @ Math Coss : il existe une division un peu particulière qui permet de calculer une racine carrée à la main.

    Sinon, ce qui me semble le plus rapide est effectivement de chercher la racine carrée, vu qu'on dit que la différence entre les facteurs est 1.

    17*13 = 221 ne convient pas, 221*3 trop petit, 221*5 trop grand
    17*11 = 187 ne convient pas, 187 * 3 trop petit, 187* 5 trop grand ( > 900)
    11*13 = 143. 5 est un bon candidat 5*143 = 715 (en plus, multiplier par 5 c'est facile)

    On vérifie le 714 pour les autres facteurs.
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