Principe des tiroirs
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai un petit problème de singe et de bananes.
Un singe possède 45 bananes et aimerait les manger sur un mois (30 jours), il doit en manger au moins une par jour. On aimerait déterminer qu'il existe forcément un laps de temps (c.à.d un nombre de jour consécutif) où le singe a mangé exactement 14 banane.
Dans le corrigé, on denote $a_i$ le nombre de banane mangé jusqu'au jour $i$, et $b_i = a_i + 14$. On affirme ensuite qu'il existe forcément une pair $(a_i, b_j)$ tel que $a_i = b_j$ et pour cela on invoque le principe des tiroirs, mais je ne comprends pas le raisonnement qui nous permet d'affirmer cela avec ce principe.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer s'il vous plaît ?
J'ai un petit problème de singe et de bananes.
Un singe possède 45 bananes et aimerait les manger sur un mois (30 jours), il doit en manger au moins une par jour. On aimerait déterminer qu'il existe forcément un laps de temps (c.à.d un nombre de jour consécutif) où le singe a mangé exactement 14 banane.
Dans le corrigé, on denote $a_i$ le nombre de banane mangé jusqu'au jour $i$, et $b_i = a_i + 14$. On affirme ensuite qu'il existe forcément une pair $(a_i, b_j)$ tel que $a_i = b_j$ et pour cela on invoque le principe des tiroirs, mais je ne comprends pas le raisonnement qui nous permet d'affirmer cela avec ce principe.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer s'il vous plaît ?
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Réponses
Entre $1$ et $45$ tu as aussi $30$ valeurs distinctes.
Les $60$ ne peuvent pas être distinctes car elles sont comprises entre $1$ et $59$
Al-Kashi
1...............................................45
............15.......................................................59
La 1ère ligne, c'est l'intervalle des 30 nombres DISTINCTS du cumul des bananes mangées chaque jour (dont 45 obligatoire)
La 2ème ligne, c'est l'intervalle des 30 nombres DISTINCTS + 14 du cumul des bananes mangées chaque jour (dont 59 obligatoire).
Tu places 30 nombres DISTINCTS dans l'intervalle de la 1ère ligne et 30 nombres DISTINCTS dans l'intervalle de la 2ème ligne.
Tu dois donc placer 60 nombres, pour un intervalle de 59 max : il y a nécessairement un nombre commun.
Ce nombre commun obtenu : jour b = jour a + 14 donne jour b - jour a = 14. 14 bananes ont été consommées entre le jour a et le jour b.
AL-Kashi
[Voilà, comme j'ai pu. ;-) AD] http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1721242,1721308#msg-1721308
Moyennant une petit détail à voir.
A mon tour de demander qu'on m'éclaire.
Qu'est-ce qui empêche le singe de manger une banane par jour les 13 premiers jours du mois et, le 14ème jour, de manger en un seul repas deux bananes, passant d'un seul coup de 13 bananes à 15 bananes mangées ?
Merci.
Avec le même raisonnement, mais en n'omettant pas que, dans le nombre de bananes cumulé mangées depuis le 1er jour, on ne doit pas obtenir exactement 16, et donc ni 16 + 16 = 32.
Donc entre 1 et 45+16 = 61 - {16,32} = 59 < 30 + 30 = 60.