Une équation diophantienne

Bonjour,
Mon idée n'a rien de génial . Je l'ai souvent utilisée et elle a jusqu'à ce jour toujours fonctionné pour toutes les équations du type $a^x = b^y +c$ que j'ai rencontrées.

Montrons que la relation proposée est impossible avec $\:x \geqslant 6$ . Pour cela, supposons donc que : $\exists x,y \in \N$ tels que $x\geqslant 6\:$ et $\:2^x = 3^y+5$.
Alors $ 3^y\equiv -5 \mod 64$. L'ordre de $\overline3$ dans le groupe multiplicatif $ (\Z/64\Z)^{\times}$ est égal à $16,\:$ et $3^{11} \equiv -5 \mod 64.$ Ainsi $\boxed{y \equiv 11 \mod 16.}$

On va maintenant faire un tour dans $\Z/17\Z$. Pourquoi $\Z/17\Z$ ? Parce que, $17$ étant un nombre premier congru à $1$ modulo $16$, les valeurs prises par $3^y+5$ y seront rares (unicité dans notre cas), et que l'on peut ainsi espérer qu'elles ne croiseront pas le chemin de celles prises par $2^x$.

L'ordre de $\overline3$ dans $(\Z/17\Z) ^{\times}$ vaut $16$ et $3^{11} \equiv 7 \mod 17$.
On déduit successivement: $3^y \equiv 7 \mod 17$ puis $3^y+5 \equiv 12 \mod 17$ et avec l'égalité initiale: $2^x \equiv 12 \mod 17.$
C'est impossible, car les résidus, lorsque $x$ décrit $\N$, de $2^x$ modulo $17$ sont: $2,4,8,16,15,13,9,1.$
Ainsi: $\boxed{\forall x, y \in \N,\:\:\:\: 2^x=3^y+5 \iff (x;y) \in \{ (3;1), (5;3)\}.}$

@nodgim : les seules solutions sont $(a,b,a',b')=(1,1, 2, 3)$, $(a,b,a',b')=(1, 3, 3, 5)$ et $(a,b,a',b')=(1,4, 5, 8)$ mais la démonstration, due à Stroecker et Tijdeman, fait appel aux minorations des formes linéaires de logarithmes de Baker. Je doute que ce soit une "approche plus simple". Mais si tu as une solution élémentaire à ce problème, cela m'intéresse au plus haut point !
LP