Une équation diophantienne
dans Arithmétique
Bonjour
Quelqu'un a-t-il une idée géniale pour cet exercice ?
Résoudre 2^x =3^y + 5 ; x et y éléments de N.
Cordialement
Quelqu'un a-t-il une idée géniale pour cet exercice ?
Résoudre 2^x =3^y + 5 ; x et y éléments de N.
Cordialement
Réponses
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Il n'est pas simple ce problème, pas de honte à ne pas trouver. ça n'empêche pas de chercher.
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Bonjour,
Mon idée n'a rien de génial . Je l'ai souvent utilisée et elle a jusqu'à ce jour toujours fonctionné pour toutes les équations du type $a^x = b^y +c$ que j'ai rencontrées.
Montrons que la relation proposée est impossible avec $\:x \geqslant 6$ . Pour cela, supposons donc que : $\exists x,y \in \N$ tels que $x\geqslant 6\:$ et $\:2^x = 3^y+5$.
Alors $ 3^y\equiv -5 \mod 64$. L'ordre de $\overline3$ dans le groupe multiplicatif $ (\Z/64\Z)^{\times}$ est égal à $16,\:$ et $3^{11} \equiv -5 \mod 64.$ Ainsi $\boxed{y \equiv 11 \mod 16.}$
On va maintenant faire un tour dans $\Z/17\Z$. Pourquoi $\Z/17\Z$ ? Parce que, $17$ étant un nombre premier congru à $1$ modulo $16$, les valeurs prises par $3^y+5$ y seront rares (unicité dans notre cas), et que l'on peut ainsi espérer qu'elles ne croiseront pas le chemin de celles prises par $2^x$.
L'ordre de $\overline3$ dans $(\Z/17\Z) ^{\times}$ vaut $16$ et $3^{11} \equiv 7 \mod 17$.
On déduit successivement: $3^y \equiv 7 \mod 17$ puis $3^y+5 \equiv 12 \mod 17$ et avec l'égalité initiale: $2^x \equiv 12 \mod 17.$
C'est impossible, car les résidus, lorsque $x$ décrit $\N$, de $2^x$ modulo $17$ sont: $2,4,8,16,15,13,9,1.$
Ainsi: $\boxed{\forall x, y \in \N,\:\:\:\: 2^x=3^y+5 \iff (x;y) \in \{ (3;1), (5;3)\}.}$ -
Il me semble qu'il y a une approche plus simple et dont la solution a une portée bien plus intéressante.
Trouver toutes les solutions de l'équation 3 ^ a - 2 ^ b = 3 ^ a' - 2 ^ b' avec a > a' et b > b'. -
@nodgim : les seules solutions sont $(a,b,a',b')=(1,1, 2, 3)$, $(a,b,a',b')=(1, 3, 3, 5)$ et $(a,b,a',b')=(1,4, 5, 8)$ mais la démonstration, due à Stroecker et Tijdeman, fait appel aux minorations des formes linéaires de logarithmes de Baker. Je doute que ce soit une "approche plus simple". Mais si tu as une solution élémentaire à ce problème, cela m'intéresse au plus haut point !
LP -
Ah, en effet, grossière erreur dès le départ de ma démo, avec cette équivalence :
3 ^ a' ( 3 ^ ( a-a') - 1 ) = 2 ^ b' ( 2 ^ ( b - b' ) -1 ) <======> 3 ^ a' = 2 ^ ( b - b' ) -1.....et......3 ^ ( a-a') - 1 = 2 ^ b'.
On oublie !
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Bonjour!
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