Relation de Bézout
dans Arithmétique
Bonjour,
J'aimerais faire l'exercice suivant : Montrer que si $a,b \in \mathbb{N^*}$ sont premiers entre eux, alors
\begin{equation}
\exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, \exists \gamma, \delta \in \mathbb{N}, n = \gamma a + \delta b
\end{equation}
Je sais déjà que comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ tel que
\begin{equation}
\alpha a + \beta b = 1
\end{equation}
Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\begin{equation}
n \alpha a + n \beta b = n
\end{equation}
Donc pour $\alpha, \beta \geq 0$ c'est bon. Mais je ne sais pas quoi faire si l'un des deux est négatif.
On me donne comme indication : "si par exemple $\beta < 0$, faire la division euclidienne de $n$ par $b$" mais je n'arrive pas à voir ce qu'il faut faire une fois qu'on a écrit $n=bq+r$
Merci d'avance si vous avez des pistes
J'aimerais faire l'exercice suivant : Montrer que si $a,b \in \mathbb{N^*}$ sont premiers entre eux, alors
\begin{equation}
\exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, \exists \gamma, \delta \in \mathbb{N}, n = \gamma a + \delta b
\end{equation}
Je sais déjà que comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ tel que
\begin{equation}
\alpha a + \beta b = 1
\end{equation}
Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\begin{equation}
n \alpha a + n \beta b = n
\end{equation}
Donc pour $\alpha, \beta \geq 0$ c'est bon. Mais je ne sais pas quoi faire si l'un des deux est négatif.
On me donne comme indication : "si par exemple $\beta < 0$, faire la division euclidienne de $n$ par $b$" mais je n'arrive pas à voir ce qu'il faut faire une fois qu'on a écrit $n=bq+r$
Merci d'avance si vous avez des pistes
Réponses
-
Autre indice : on a aussi
$$(n \alpha-kb) a + (n \beta+ka) b = n$$
pour tout entier $k$. -
Merci GaBuZoMeu mais je n'arrive pas à trouver $n$ et $k$ tels que les deux coefficients soient positifs, est-ce ce qu'il faut faire ?
Merci -
Soit un nombre $b<0$ et $n>0$ il existe un entier $m$ tel que $b+nm>0$
-
Oui mais si $n\beta + ka >0$ qu'est-ce qui me dit que $n\alpha - kb > 0$ ?
-
Tu pars de:
$n \alpha a + n \beta b = n$
Si c'est $\alpha$ qui est négatif tu rajoutes aux deux membres de l'égalité autant de fois $n$ qu'il est nécessaire c'est à dire tant que $n\alpha+n+n+...$ n'est pas strictement positif.
Les coefficients $\alpha,\beta$ ne dépendent que de $a,b$ pas de $n$.
PS:
Je pense après réflexion que mon propos n'est pas pertinent.
On ne demande pas de montrer qu'il existe au moins un entier m tel que $m=ua+vb$ avec $u,v$ des entiers naturels. -
Merci Fin de Partie ! En fait tu dis que si $\alpha <0$ il existe $m$ entier positif tel que $n \alpha a + mn > 0$, donc :
$n \alpha a + mn + n \beta b = n+mn$
Je suis désolé d'être imperméable mais je ne vois pas du tout en quoi cela peut aider...
PS : d'accord, nos messages se sont croisés
-
$\alpha$ et $\beta$ ne bougent pas. On suppose $\alpha >0$ et $\beta<0$.
On te demande de trouver $n_0$ tel que pour tout $n\geq n_0$ il existe $k$ tel que $n\alpha -kb\geq 0$ et $n\beta +ka\geq 0$.
On t'a soufflé la division euclidienne de $n$ par $b$. Elle donne un quotient $q$ qui vérifie $qb\leq n <(q+1)b$. Ça va te permettre de minorer de façon utile $n\alpha-kb$ et $n\beta +ka$ ... je te laisse y réfléchir.
PS. Ne pas oublier que $\alpha a = 1-\beta b$. -
Je suis désolé GaBuZoMeu mais pour $k \in \mathbb{Z}$ il me semble que
$n \beta + ka \geq 0 \Leftrightarrow n \leq - \frac{ka}{\beta}$
Quand $\beta$ negatif, autrement dit le coefficient que tu me propose est forcément négatif à partir d'un certains rang pour tout $k$ -
Attention aux quantificateurs ! On ne te demande pas de montrer qu'il existe un $k$ tel que pour tout $n$ assez grand blabla, mais que pour tout $n$ assez grand il existe un $k$ tel que blabla.
-
AH oui pardon je me suis enmêlé dans les quantificateurs dans la négation, je vais encore réfléchir
-
Bonjour,
Il y a une manière assez élémentaire de répondre à ton problème:
Sur la droite $ax+by=n$ la distance entre deux points consécutifs à coordonnées entières est $\sqrt{a²+b²}$
De plus la distance entre les extrémités est $n\sqrt{\dfrac{1}{a²}+\dfrac{1}{b²}}$
Je te laisse prouver et conclure que pour $n>ab$ l'affaire est conclue.
Al-Kashi -
Merci Al-Kashi mais qu'appelles-tu extrémités ?
-
Les intersections entre la droite en question et les axes des abscisses et ordonnées.
Al-Kashi -
Al-Kashi j'ai compris ce que tu voulais dire, je crois que tu as résolu mon problème. Mais il y a quelque chose qui m'étonne: dans ton raisonnement à aucun moment on a besoin que $a$ et $b$ soient premiers entre eux, si ?
-
Si , la condition est nécessaire et utilisée dans le raisonnement.
Al-Kashi -
Peux-tu me dire à quel moment du raisonnement est-elle utilisée ?
-
Salut.
Ce que tu cherches est certes lié à Bezout, mais il faut chercher du coté des semi-groupes. Ton résultat a été démontré par Sylvester qui donne le seuil critique d'un semi-groupe engendré par deux éléments. Le plus petit des $n_0$ que tu cherches est $(a - 1)(b - 1)$ d'après le théorème de Sylvester.
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