Un carré ou un multiple de $5$

Bonjour,

$u_8=1 \,845 \,5... 0$ est divisible par $5.$

C'est facile de montrer que si n pair, u(n) = 5k.

C'est pour le carré que ça se gâte....

Au passage; c'est la valeur de @Math Coss qui est juste.

Comme il l'a remarqué en calculant les valeurs de la suite jusqu'à $u_8$ l'expérience suggère une alternance stricte entre carrés de chiffre d'unité $1$ lorsque $n$ est impair et multiples de $5$ de chiffre d'unité $0$ si $n$ pair, .

On va montrer cela par récurrence.
Supposons cette propriété vraie jusqu'à $u_n$;
$\bullet$) et que $u_n$ est un multiple de $5$. Nous allons en déduire que $u_{n+1}$ est un carré de chiffre d'unité $1$.

En effet

$\begin{align} u_{n+1}& = \frac{(n-1)(5(n-2)^2 + 5(n-2) + 1)}{n-2}u_n + (5(n-2)^2 + 5(n-2) +1)u_{n-1} - \frac{n - 1}{n-2}u_{n-2}
\;\iff\\
u_{n+1} - (5(n-2)^2 + 5(n-2) +1)u_{n-1} &= \frac{(n-1)(5(n-2)^2 + 5(n-2) + 1)}{n-2}u_n - \frac{n - 1}{n-2}u_{n-2}\;(1)\end{align}$
Et comme $(5(n-2)^2 + 5(n-2) +1)u_{n-1}$ est un entier de chiffre d'unité $1$, $n$ étant pair, $n-2$ est aussi pair et ne divise pas $5$. Alors le membre de droite de l'égalité $(1)$ est un multiple de $5$, d'où $u_{n+1}$ a $1$ comme chiffre d'unité. Il n'est pas un multiple de $5$ donc c'est un carré de chiffre d'unité $1$.

$\bullet$) et que $u_n$ est une carré de chiffre d'unité $1$. Nous allons en déduire que $u_{n+1}$ est un multiple de $5$.
En effet

$\begin{align} u_{n+1} &= \frac{(n-1)(5(n-2)^2 + 5(n-2) + 1)}{n-2}u_n + (5(n-2)^2 + 5(n-2) +1)u_{n-1} - \frac{n - 1}{n-2}u_{n-2}
\;\iff\\ u_{n+1} - (5(n-2)^2 + 5(n-2) +1)u_{n-1}& = \frac{(n-1)(5(n-2)^2 + 5(n-2) + 1)}{n-2}u_n - \frac{n - 1}{n-2}u_{n-2}\;(2)\end{align}$
Et comme $(5(n-2)^2 + 5(n-2) +1)u_{n-1}$ est un entier multiple de $5$ de chiffre d'unité $0$, $n$ impair, $n - 2$ est aussi impair, le membre de droite de l'égalité $(2)$ est $\frac{n - 1}{n - 2}((5(n-2)^2 + 5(n-2) + 1)u_n - u_{n-2})$ et comme $(5(n-2)^2 + 5(n-2) + 1)u_n$ et $u_{n-2}$ sont de chiffres d'unité $1$, leur différence est de chiffre d'unité $0$, et donc le membre de droite de l'égalité $(2)$ est un multiple de $5$ de chiffre d'unité $0$, où en tout cas un nombre pair, et par conséquent $u_{n+1}$ est un multiple de $5$ de chiffre d'unité $0$.

Ceci étant dit, je pense que la démonstration est complète et valable, et attends vos appréciations !

Cordialement.

Bonjour,

Ce que tu proposes est faux. Essaies de trouver la première erreur.
Tu as écrit, parmi les erreurs, puisque $10$ termine par zéro, alors ${6\over 7} \times 10$ est multiple de $5.$
Tu as aussi écrit : tout nombre qui termine par $1$ est un carré, par exemple $11.$

J'ai suivi la suggestion de Robusta, c'est-à-dire de généraliser à la suite $(u_n)$ définie par:
$\quad u_1=1;\quad u_2=0;\quad u_3=1$ et pour $n\geq1$ $u_{n+3}=\dfrac{(n+1)(an^2+an+1)}{n}u_{n+2}+(an^2+an+1)u_{n+1}-\dfrac{n+1}{n}u_n$.

En définissant $v_n=\sqrt{u_n}$ on trouve que la suite $(v_n)$ vérifie:
$\quad v_1=1;\quad v_2=0$ et pour $n\geq1$ $v_{n+2}=n\sqrt{a}v_{n+1}+v_n$.

Cela démontre les résultats conjecturés par Robusta.

Babsgueye,

tu fais l'erreur classique de penser que l'hypothèse de récurrence est "pour tout n ...".
Ton hypothèse, si tu l'applique bien, dit que, pour tout entier jusqu'à n, on a soit un carré, soit un multiple de 5 : " ... cette propriété vraie jusqu'à $u_n$;". Donc tu ne peux pas l'utiliser pour $u_{n+1}$.

Et pourtant, relis-toi, c'est bien toi qui écris :

babacar a écrit:

d'où $u_{n+1}$ a $1$ comme chiffre d'unité. Il n'est pas un multiple de $5$ donc c'est un carré de chiffre d'unité $1$.

Une autre possibilité pour comprendre ton "donc" est que tu crois que tout nombre de la forme 10n+1 qui n'est pas un multiple de 5 est un carré.

Si je me trompe, donne-moi la règle mathématique qui te permet de dire "donc".

gerard0,

faut pas avoir honte de changer de trottoir pour éviter une inutile rencontre.

Amicalement
Paul

Babsgueye n'est-il pas en réalité un troll? Une forme plus perverse (et non pas plus subtile) que d'habitude.

J'ai observé pour la suite $(u_n)$ proposée par Cidrolin que $u_{2n}=5w_n^2$ où $w_n$ est un entier divisible par $n(n-1)$.

En cherchant à le démontrer j'ai généralisé en posant $v_n=\sqrt{u_n}$, suite vérifiant $v_{n+2}=n\sqrt{a}v_{n+1}+v_n$.

On peut encore écrire $v_n=P_n(\sqrt{a})$ où la suite de polynômes $(P_n)$ est définie par $P_1=1$, $P_2=0$ et pour $n\geq 1$: $P_{n+2}=nXP_{n+1}+P_n$.
Les premiers sont $P_3=1$, $P_4=2X$, $P_5=1+6X^2$, $P_6=6X(1+4X^2)$, $P_7=1+36X^2+120X^4$, $P_8=12X(1+20X^2+60X^4)$, ...

En cherchant à calculer les coefficients de $P_n$ j'ai eu la surprise d'obtenir qu'ils sont donnés par une formule relativement simple, avec des coefficients binomiaux (il faut distinguer les cas $n$ pair et $n$ impair).
On en déduit immédiatement la propriété: $w_n$ est un entier divisible par $n(n-1)$.

Est-ce que ces polynômes sont connus?