Relation binaire

Pour revenir à tes questions initiales.

1) Oui, la relation de congruence modulo $m$ (un entier fixé) est symétrique. On a $a\equiv_m b$ si et seulement si la différence $a-b$ est un multiple de $m$, c'est-à-dire s'il existe $k$ tel que $a-b=km$ ; on a alors : $b-a=(-k)m$, de sorte que $b\equiv_m a$.

2) Voici un exemple. Imagine un graphe, c'est-à-dire des points reliés par des arêtes. Formellement, on se donne un ensemble $S$ de points (les sommets) et un ensemble $A$ formés de paires de points. Par exemple, avec $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ et $A=\bigl\{\{1,2\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{4,5\}, \{6,7\}, \{7,8\}\bigr\}$, on peut faire le dessin ci-dessous.
Étant donné un graphe, on forme une relation $\rho$ sur $S$ : on dit que $a\rho b$ si $a=b$ ou si $\{a,b\}\in A$.

Par construction, cette relation est réflexive et elle est symétrique puisque $a\rho b\iff \{a,b\}\in A\iff\{b,a\}\in A\iff b\rho a$.

La clôture transitive de cette relation est très intéressante : elle décrit les composantes connexes du graphe. Par construction, c'est une relation d'équivalence et les composantes connexes sont par définition les classes d'équivalence. Dans l'exemple, ce sont $\{1,2,3,4,5\}$ et $\{6,7,8\}$.

Bonjour Adaq.

1) Attention, $2 \equiv 2 \mod 5$ se traduit par l'existence d'un entier k tel que $2=2+k\times 5$ (*) sans modulo (on ne peut décemment définir modulo par modulo).
$2 \equiv_5 2$ est une autre notation pour $2 \equiv 2 \mod 5$.
Autre chose :
"...n'a pas qu'une solution et que mes profs de maths m'ont menti durant toute mon enfance"
Bien évidemment que cette équation n'a pas qu'une solution, quelle que soit son ou ses inconnues a, b et m (**). Et pourquoi parles-tu d'enfance ? On ne voit pas les congruence dans l'enfance, seulement à l'adolescence.
peux-tu préciser ce "mensonge" ??

2) Pas nécessairement. Le graphe de la relation d'égalité n'a aucune arête.

Cordialement.


(*) k vaut 0
(**) une seule solution pour l'inconnue m si $a=b\pm 1$

Dans la définition standard de graphe, les arêtes sont des paires de sommets distincts, de sorte qu'il n'y a pas d'arête reliant un sommet à lui-même. C'est pourquoi j'ai défini comme relation associée à un graphe : $a\rho b$ si [$a=b$ ou $\{a,b\}\in A$].