Relation réflexive

Rebonjour,
Je suis désolé de vous déranger une nouvelle fois si rapidement,

Je dois démontrer ou réfuter que si une relation binaire $\sigma$ n'est pas réflexive (sur un ensemble A arbitraire) alors $\sigma^2$ ne le sera pas non plus (sur ce même ensemble A).
Du coup, j'ai voulu entamer une preuve directe à coup de définition mais je pense qu'il y a une erreur dans mon raisonnement :
J'ai posé $$\exists a\lnot(a \sigma a) \Rightarrow \exists a \lnot (a \sigma^2 a)$$ ce que je crois être une traduction correcte de l'énoncée.

Ensuite d'après la définition de $\sigma^2$ on a :$$\exists a\lnot(a \sigma a) \Rightarrow \exists a, b \lnot (a \sigma b \land b \sigma a)$$

Du coup si on prend $b=a$, on saura que l'énoncé est correcte puisque l'on sait que $\exists a\lnot(a \sigma a)$. Je me suis donc dit, facile cette preuve. Or en y repensant un peu, si on définit l'ensemble $A = \{x, y\}$ et que l'on définit la relation $\sigma = \{(x, y), (y, x)\}$, $\sigma$ n'est évidemment pas réflexive cependant on peut observer que $\sigma^2 = \{(x,x), (y,y)\}$ l'est.

J'en déduis donc que l'affirmation est fausse, mais alors où est l'erreur dans ma première tentative ?

Je vous remercie de votre sollicitude. Bonne journée !