Un carré diabolique

soland
soland
dans Arithmétique
Les indices appartiennent à $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
Les entrées $a_{ij}$ d'une matrice $4\times 4$ sont des réels pas forcément distincts.
Il existe un réel $s$ tel que, pour tout $k\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$,
$$
\sum_{i=k} a_{ij} = \sum_{j=k} a_{ij} = \sum_{i+j=k} a_{ij} = \sum_{i-j=k} a_{ij} = s
$$
Montrez que la somme $a_{ij} + a_{(i+2)(j+2)}$ ne dépend ni de $i$, ni de $j$.

Les matrices dont on parle sont appelées carrés diaboliques et constituent un e.v. réel $V$.
Cherchez (et, surtout, trouvez) une base de $V$.

Réponses

  • LOU16
    LOU16
    Bonjour,
    La résolution du système linéaire suscité par la question posée aboutit à:
    $$V\:\text{ est le sous-espace affine de dimension}\: 4\:\text{ de }\:\mathcal M_4(\R)\:\text{défini par}:$$
    $$ \boxed{V = \left\{M\in \mathcal M_4(\R) \mid\exists\: (x,y,z,t) \in \R^4 \:\text{tel que}\: M=\dfrac s4 E+ xA+yB +zC+tD \right\}}$$
    où: $ E = \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\ \end{pmatrix},\:\:\: A = \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&-1&-1&0\\-1&0&0&-1 \end{pmatrix},\:\: B=\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\1&0&0&1\\-1&0&0&-1\\0&-1&-1&0 \end{pmatrix}, \:\:C = \begin{pmatrix} 1&0&0&-1\\0&-1&1&0\\0&1&-1&0\\-1&0&0&1 \end{pmatrix},$
    $ \: D =\begin{pmatrix}0&-1&1&0\\1&0&0&-1\\-1&0&0&1\\0&1&-1&0 \end{pmatrix}\quad\quad \quad$ Ainsi:$\:\: \forall M \in V,\:\forall i,j \in \Z/4\Z ,\:\: M_{ij} + M_{(i+2)(j+2)} = \dfrac s2$.
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.

    Est ce qu'on a: $M_{11} + M_{33} = \dfrac s2$ ?

    Merci.
  • soland
    soland
    Je reviens après une absence de quelques jours.

    Ces carrés sont aussi appelés toriques puisque leur ensemble est stable sous les translations d'indices :
    $
    T(m,n) : M(4,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \longrightarrow M(4,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})
    $
    $
    \qquad\qquad\qquad(a_{ij}) \longmapsto (a_{(i+m)(j+n)}
    $
    En voici un exemplaire très particulier, écrit aussi en base 4 par souci d'explication :
    $$
    \begin{matrix}
    0 & 14 & 5 & 11 \\
    13 & 3 & 8 & 6 \\
    10 & 4 & 15 & 1 \\
    7 & 9 & 2 & 12
    \end{matrix}

    \qquad

    \begin{matrix}
    00 & 32 & 11 & 23 \\
    31 & 03 & 20 & 12 \\
    22 & 10 & 33 & 01 \\
    13 & 21 & 02 & 30
    \end{matrix}
    $$
    Ci-dessous :
    En bleu, 6 alignements de somme totale $6s$,
    En rouge, 4 alignements de somme totale $4s$.
    Le troisième schéma représente leur différence :
    $$
    4a_{00}+4a_{22} = 6s-4s = 2s \qquad\text{donc}\qquad a_{00}+a_{22}=s/2
    $$81448
  • soland
    soland
    P.S.
    La technique de démonstration pourrait s'appeler
    SLALOM
  • babsgueye
    babsgueye
    Si on a le courage, on peut résoudre un système d'équations à $16$ inconnus en fonction de $s$.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,
    Babsgueye a écrit:
    Si on a le courage, on peut résoudre un système d'équations à $16$ inconnus en fonction de $s$.

    Bah, un certain nombre de logiciels en sont capables. Pourquoi le faire à la main ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • babsgueye
    babsgueye
    C'est vrai, il suffira de lancer un programme.
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