Divisibilité avec coefficient binomial

Bonjour,

$C_{2^{m-1}}^{k}$ avec $k\leq m$ impose $2^{m-1}\leq k\leq m$ et donc $m\in \{1,2\}$ et on calcule pour ces valeurs.

Attention YvesM : $C_{2^{m-1}}^{k}$ désigne $\binom{2^{m-1}}{k}$ !

La condition demandée est équivalente au fait que $2^{m-k}$ divise $$\binom{2^{m-1}}{k} = \frac{2^{m-1}!}{k!\times (2^{m-1}-k)!}.$$ Mais au numérateur on trouve le produit de tous les entiers entre $\max(2^{m-1}-k, k) = 2^{m-1}-k$ (car $2^{m-1} \geq m \geq k$) et $2^{m-1}$. Je réécris $$\binom{2^{m-1}}{k} = \frac{\displaystyle \prod_{i=2^{m-1}-k+1}^{2^{m-1}} i}{k!}.$$ Il faudrait regarder la valuation $2$-adique de ce truc, comme les entiers au numérateur sont plus grand que ceux qui apparaissent au numérateur on a envie de sauver au moins $2^{m-k}$ facteurs $2$, mais j'ai la flemme de chercher maintenant.

$2^k\dbinom{2^{m-1}}{k}=\dfrac{2^{k+m-1}}k\dbinom{2^{m-1}-1}{k-1}=2^m\dbinom{2^{m-1}-1}{k-1}\dfrac{2^{k-1}}k$.

Comme $k\leq2^{k-1}$ on a $k=2^xy$ avec $x\leq k-1$ et $y$ impair qui divise $\dbinom{2^{m-1}-1}{k-1}$.