Divisibilité avec coefficient binomial
dans Arithmétique
Salut, Comment prouver que :
$C_{2^{m-1}}^k\times 2^k$ est divisible par $2^m$. Pour $ 2^{m-1}\geq k\geq 1$.
$C_{2^{m-1}}^k\times 2^k$ est divisible par $2^m$. Pour $ 2^{m-1}\geq k\geq 1$.
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Réponses
$C_{2^{m-1}}^{k}$ avec $k\leq m$ impose $2^{m-1}\leq k\leq m$ et donc $m\in \{1,2\}$ et on calcule pour ces valeurs.
Pardon. C'était un faute de frappe.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
La condition demandée est équivalente au fait que $2^{m-k}$ divise $$\binom{2^{m-1}}{k} = \frac{2^{m-1}!}{k!\times (2^{m-1}-k)!}.$$ Mais au numérateur on trouve le produit de tous les entiers entre $\max(2^{m-1}-k, k) = 2^{m-1}-k$ (car $2^{m-1} \geq m \geq k$) et $2^{m-1}$. Je réécris $$\binom{2^{m-1}}{k} = \frac{\displaystyle \prod_{i=2^{m-1}-k+1}^{2^{m-1}} i}{k!}.$$ Il faudrait regarder la valuation $2$-adique de ce truc, comme les entiers au numérateur sont plus grand que ceux qui apparaissent au numérateur on a envie de sauver au moins $2^{m-k}$ facteurs $2$, mais j'ai la flemme de chercher maintenant.
mais peut être que c'est pas le bon chemin. J'ai essayé beaucoup mais rien
Comme $k\leq2^{k-1}$ on a $k=2^xy$ avec $x\leq k-1$ et $y$ impair qui divise $\dbinom{2^{m-1}-1}{k-1}$.
Posons $u_k=2^k\,C_{2^{m-1}}^k$. On vérifie par récurrence sur $p$ que
$$\begin{aligned}
v_2(u_{2p+1})&=m+2p\\
v_2(u_{2p+2})&=m+2p-v_2(p+1)\;.
\end{aligned}$$