Diviseurs de p^2
dans Arithmétique
Bonjours à tous, ma question est relativement simple mais je n'arrive pas à la prouver. On considère p un nombre premier, comment montrer que tous les diviseurs positifs de p^2 sont exactement 1, p et p^2.
Merci d'avance.
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Réponses
Une autre piste (maladroite ?) est de commencer par : "Supposons qu"il existe $d$ un diviseur premier de $p^2$...".
c'est une conséquence de l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, non ?
m.
[edit : grillé par Dom]
La définition d’un diviseur $a$ de $p^2$ est qu’il existe $b$ tel que $p^2=a.b.$ Si $a=1$, alors $b=p^2$. Si $a>1$ et donc $b>1$, on décompose $a$ et $b$ en facteurs premiers. Les exposants sont tous nuls sauf ceux de $p$ dont la somme est $2$ ; on a donc comme seules solutions $1+1=2+0=2$. Et donc $a=b=p$ ou $a=p^2,b=1.$ Les seuls diviseurs de $p^2$ avec $p$ premier sont donc $1,p,p^2.$
Ces propriétés sont elles suffisantes ?
Le cas contraire que me manque-t-il pour conclure.
Merci d'avance.
Si $a$ divise $p^2$ alors il existe $b$ tel que $p^2=ab$. Comme $p$ divise le membre de gauche il divise le membre de droite, disons $a$. Alors il existe $c$ tel que $a=p c$ et donc $p=b c$. Comme $p$ est premier, on a $b=1$ et $c=p$ ou $b=p$ et $c=1$. On a donc $a=p^2,a=p$.
Si on reprend avec, disons $b$, on trouve $b=p^2$, $b=p$ et donc $a=1.$
On retrouve les trois valeurs de $a$ : $1,p,p^2.$
Cela semble une question "ironique" mais je crois que c'est cela qui coince.
C'est plus clair.
Bonne soirée.
J’essaie de répondre à la question : on a $p|a b$ avec $p$ premier, pourquoi a-t-on $p|a$ ou $p|b$ ?
Par contraposée : on suppose que $p|ab$ et que $p\not| a$ et que $p\not |b$. Comme $p\wedge a=1$, par le théorème de Bézout, il existe $u,v$ tels que $p u +a v=1$ ; de même il existe $u’,v’$ tels que $p u’ + b v’=1$. Par multiplication, $p(p u u’+a u’ v+ b u v’) +a b (v v’)=1$ et donc $p\wedge ab=1$ : contradiction.
Bon, en fait, c'est exactement ce que dit le Lemme d'Euclide (dont le Lemme de Gauss est une forme de généralisation).
Si j'étais un tortionaire, je demanderais "pourquoi $a\wedge p=1$ ?".
Mais je n'en suis pas un ;-)
Edit : Math Coss a répondu avant.
Une petite remarque : le lemme de Gauss est justement la question posée, non ?
Ainsi, utiliser le lemme de Gauss pour le démontrer m'interpelle.
Si on l'admet, ce qui est raisonnable, alors je suis d'accord.