Diviseurs de p^2

arthurserres
arthurserres
dans Arithmétique
Bonjours à tous, ma question est relativement simple mais je n'arrive pas à la prouver. On considère p un nombre premier, comment montrer que tous les diviseurs positifs de p^2 sont exactement 1, p et p^2.
Merci d'avance.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Je pense y arriver en sachant que pour chaque entier supérieur ou égal à 2, il existe une unique décomposition en produit de facteurs premiers (à l'ordre des facteurs près).

    Une autre piste (maladroite ?) est de commencer par : "Supposons qu"il existe $d$ un diviseur premier de $p^2$...".
  • michael
    michael
    Salut,

    c'est une conséquence de l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, non ?

    m.

    [edit : grillé par Dom]
  • arthurserres
    arthurserres
    En effet la première option semble aboutir néanmoins il s'agit d'un résultat relativement puissant. J'aurais aimé pourvoir démontrer cela avec des résultats plus modestes. J'ai donc essayé la "piste maladroite" et malheureusement je ne parviens pas à conclure...
  • michael
    michael
    Quels résultats "plus modestes" t'autorises-tu ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    La définition d’un diviseur $a$ de $p^2$ est qu’il existe $b$ tel que $p^2=a.b.$ Si $a=1$, alors $b=p^2$. Si $a>1$ et donc $b>1$, on décompose $a$ et $b$ en facteurs premiers. Les exposants sont tous nuls sauf ceux de $p$ dont la somme est $2$ ; on a donc comme seules solutions $1+1=2+0=2$. Et donc $a=b=p$ ou $a=p^2,b=1.$ Les seuls diviseurs de $p^2$ avec $p$ premier sont donc $1,p,p^2.$
  • arthurserres
    arthurserres
    Je pensais utiliser les résultats suivants: - si a|bc et a premier avec b alors a|c ou encore si PGCD(a, b) = d alors il existe (u,v), au+bv=d.
    Ces propriétés sont elles suffisantes ?
    Le cas contraire que me manque-t-il pour conclure.
    Merci d'avance.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si $a$ divise $p^2$ alors il existe $b$ tel que $p^2=ab$. Comme $p$ divise le membre de gauche il divise le membre de droite, disons $a$. Alors il existe $c$ tel que $a=p c$ et donc $p=b c$. Comme $p$ est premier, on a $b=1$ et $c=p$ ou $b=p$ et $c=1$. On a donc $a=p^2,a=p$.
    Si on reprend avec, disons $b$, on trouve $b=p^2$, $b=p$ et donc $a=1.$
    On retrouve les trois valeurs de $a$ : $1,p,p^2.$
  • Dom
    Dom
    Dis-moi, YvesM, avec tes notations ($a$ et $b$ entiers tels que $p^2=ab$), pourquoi si $p$ divise $a\times b$, alors $p$ divise $a$ ou bien $p$ divise $b$ ?

    Cela semble une question "ironique" mais je crois que c'est cela qui coince.
  • arthurserres
    arthurserres
    Merci pour cette preuve.
    C'est plus clair.
    Bonne soirée.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    J’essaie de répondre à la question : on a $p|a b$ avec $p$ premier, pourquoi a-t-on $p|a$ ou $p|b$ ?

    Par contraposée : on suppose que $p|ab$ et que $p\not| a$ et que $p\not |b$. Comme $p\wedge a=1$, par le théorème de Bézout, il existe $u,v$ tels que $p u +a v=1$ ; de même il existe $u’,v’$ tels que $p u’ + b v’=1$. Par multiplication, $p(p u u’+a u’ v+ b u v’) +a b (v v’)=1$ et donc $p\wedge ab=1$ : contradiction.
  • Math Coss
    Math Coss
    Plus simple : si $p$ ne divise pas $a$, alors $p$ est premier avec $a$ donc, d'après le lemme de Gauss, $p$ divise $b$.
  • Dom
    Dom
    Ok.
    Bon, en fait, c'est exactement ce que dit le Lemme d'Euclide (dont le Lemme de Gauss est une forme de généralisation).

    Si j'étais un tortionaire, je demanderais "pourquoi $a\wedge p=1$ ?".

    Mais je n'en suis pas un ;-)

    Edit : Math Coss a répondu avant.
    Une petite remarque : le lemme de Gauss est justement la question posée, non ?
    Ainsi, utiliser le lemme de Gauss pour le démontrer m'interpelle.
    Si on l'admet, ce qui est raisonnable, alors je suis d'accord.
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