Fibonacci dans 89
dans Arithmétique
Bonjour,
Vrai ou faux ? Le nombre $\displaystyle {1\over 89}=0,01\,123\,595...=\\=0,01+0,00\,1+0,00\,02+0,00\,003+0,00\,000\,5+0,00\,000\,08+\\+0,00\,000\,013+...$ contient tous les nombres de Fibonacci : $1,1,2,3,5,8,13,...$ définis par la récurrence $\displaystyle F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$ pour tout $k$ entier et $F_0=F_1=1.$
Vrai ou faux ? Le nombre $\displaystyle {1\over 89}=0,01\,123\,595...=\\=0,01+0,00\,1+0,00\,02+0,00\,003+0,00\,000\,5+0,00\,000\,08+\\+0,00\,000\,013+...$ contient tous les nombres de Fibonacci : $1,1,2,3,5,8,13,...$ définis par la récurrence $\displaystyle F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$ pour tout $k$ entier et $F_0=F_1=1.$
Réponses
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Hmmm...c'est faux, non?
Tout entier $n$ possède un multiple non trivial (autre que $0$) dans la suite de Fibonacci. En particulier, pour $n$ qui est une puissance de $10$. Si c'était vrai, on pourrait donc trouver des suites de $0$ arbitrairement longues dans l'écriture décimale de $\frac{1}{89}$, en contradiction avec le fait que cette écriture est périodique.
Pierre. -
$$\frac1{89}= \frac1{100}\times \frac1{1-\frac1{10}-\left(\frac1{10}\right)^2} =\ldots $$
Mais est-ce une vraie question ?
PS. Le nombre d'or a un certain rapport avec les racines de $1-x-x^2$, et aussi avec la suite de Fibonacci. -
On peut aussi voir que
$$(1-x-x^2)\times \sum_n F_nx^n =1\;.$$ -
Ah ok, je n'avais pas compris qu'il pouvait y avoir des retenues... au temps pour moi.
Pierre. -
YvesM dit en gros que
$$\frac1{89}=\frac1{100}\,\sum_n \frac{F_n}{10^n}\;,$$
ce qui est bien évident avec les explications que j'ai données. -
@Yves M
Skecht. Je change les notations car je suis vieux ...etc.. On utilise l'anneau quadratique réel $\Z[\phi] = \Z \oplus \Z\phi$ où
$$
\phi = {1 + \sqrt 5 \over 2}, \qquad \phi^2 = \phi +1, \qquad \phi \widetilde \phi = -1
$$
Pour tout $n \in \Z$, $\phi^n$ est dans $\Z[\phi]$ car $\phi$ y est inversible et l'on a :
$$
\phi^n = F_{n-1} + F_n \phi \qquad \hbox {(la suite $F_n$ est définie sur tout $n \in \Z$ par la même formule $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$)}
$$
Maintenant débarque un entier $f \ge 1$. On considère l'inclusion des deux anneaux quadratiques réels :
$$
\Z \oplus \Z f\phi = \Z[f\phi] \quad \subset \quad \Z[\phi], \qquad \hbox {inclusion d'indice $f$}
$$
Elle induit une inclusion au niveau des groupes d'inversibles $(\Z[f\phi])^\times \subset (\Z[\phi])^\times$. C'est une inclusion entre deux groupes multiplicatifs, et cette inclusion est d'indice fini. Il faut un peu travailler pour obtenir ce dernier renseignement. Utiliser (voir note plus pas) la structure du groupe des inversibles de $\Z[\phi]$.
En particulier, il y a un entier $n \ge 1$ tel que $\phi^n \in \Z[f\phi]$. Mais on a l'équivalence :
$$
\phi^n \in \Z[f\phi] \quad \Longleftrightarrow \qquad F_n \equiv 0 \bmod f \qquad\qquad
\hbox {ce qui fait (wanted) que $f$ divise $F_n$ pour un certain $n$}
$$
Bonus. Pour $f \ge 1$ fixé :
$$
\{ n \in \Z \mid F_n \equiv 0 \bmod f \} \hbox { est un idéal non trivial de $\Z$}
$$
ce qui est encore plus mieux que prévu. Pourquoi est ce un idéal ? Parce que c'est exactement l'ensemble des $n$ tels que $\phi^n \in \Z[f\phi]$.
Note : $\phi$ est l'unité fondamentale de $\Z[\phi]$ ce qui signifie que $\Z[\phi]^\times = \langle \phi\rangle \times \{\pm 1\}$. En français : tout inversible de $\Z[\phi]$ est au signe près, une puissance (avec un exposant $\ge 0$ ou $\le 0$) de $\phi$.
Ce n'est qu'un skecth. Il y a probablement plus simple. Demander à Pierre B. -
Damned, j'ai oublié d'illustrer. Je prends $f = 31$. Pourquoi ? Parce que j'en ai envie (et c'est un nombre premier)
[color=#000000] > F := Fibonacci ; > f := 31 ; > Nf := [n : n in [0..10^3] | IsDivisibleBy(F(n), f)] ; > Nf ; [ 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, 450, 480, 510, 540, 570, 600, 630, 660, 690, 720, 750, 780, 810, 840, 870, 900, 930, 960, 990 ] > {n mod (f-1) : n in Nf} ; { 0 } [/color]On voit que pour $n \equiv 0 \bmod 30$, on a $f \mid F_n$. Et $30$, c'est $31-1$.
Play again with $f = 59$ (a prime number).[color=#000000] > f := 59 ; > IsPrime(f) ; true > Nf := [n : n in [0..10^3] | IsDivisibleBy(F(n), f)] ; > Nf ; [ 0, 58, 116, 174, 232, 290, 348, 406, 464, 522, 580, 638, 696, 754, 812, 870, 928, 986 ] > {n mod (f-1) : n in Nf} ; { 0 } [/color]Phénomène analogue. Coïncidence ? -
Bonjour,
Outre le "sketch" de Claude Quitté qui ne manque pas d'intérêt , il y a aussi cet argument:
Soient $ n\in \N^*,\:\:E =\Z/n\Z \times \Z/n\Z $, et $ f: E \longrightarrow E \:\: (x,y)\longmapsto (y,x+y)$.
Alors $f$ est une permutation de $E$ et $\exists k\in \N^*\:\: \text{tel que} \: f^{(k)} (0,1) = (0,1)$ ce qui entraine: $(\overline {F_k}, \overline{F_{k+1}}) = (0,1)$ et $\:F_k \equiv 0 \mod n.$ -
@Poirot Parce que $\phi^n = F_{n-1} + F_n\phi$ et $\Z[f\phi] = \Z \oplus f\phi \Z$.
-
Il y a une raison simple.
F0 = 0
F1 = 1
...
Fk = ak modulo n
F(k+1)= a(k+1) modulo n
Connaissant ak et a(k+1), on déduit l'antécédent a(k-1) modulo n, qui est une valeur unique.
Comme le nombre de paires est limité, il y a forcément un rebouclage. Or celui ci repasse forcément au départ, puisque l'antécédent est unique. Donc repasse à 0. -
Je te refais le coup de LOU16 en ras des pâquerettes.
Soit $n$ un entier $>1$. On travaille modulo $n$, et on note $f_n$ la classe de $F_n$ modulo $n$. On a $f_0=1$, $f_1=1$ et $f_{k+2}=f_k+f_{k+1} \bmod n$ pour tout entier naturel $k$.
Il y a $n^2$ couples d'entiers modulo $n$ (de la forme $(a\bmod n, b\bmod n)$).
Donc parmi les $n^2+1$ couples $(f_0,f_1),(f_1,f_2),(f_2,f_3),\ldots,(f_{n^2},f_{n^2+1})$ il y a deux couples égaux : il existe $i,j$ avec $0\leq i <j\leq n^2$ tels que $f_i=f_j$ et $f_{i+1}=f_{j+1}$. Mézalor
$$f_{i-1}=f_{i+1}-f_{i}=f_{j+1}-f_{j}= f_{j-1} \bmod n\;,$$
et de proche en proche on arrive à
$$1= f_0=f_{j-i} \text{ et } 1=f_1=f_{j-i+1} \bmod n\;.$$
On en déduit
$$f_{j-i-1}=f_{j-i+1}-f_{j-i} = 1-1= 0 \bmod n\;,$$
autrement dit $n$ divise $F_{j-i-1}$. Ainsi au moins un des $n^2$ premiers nombres de Fibonacci est divisible par $n$. -
Re,
@Claude Quitté
En tous cas, concernant la divisibilité de $F_n$ par un nombre premier $p$, on peut affirmer:
En désignant (pour tout n dans $ \N^*$) par $ \tau(n)$ "le" générateur de l'idéal $\mathcal I_n = \{ k \in \Z\mid F_k \equiv 0 \mod n\} $
$\tau(5)=5\:$ et pour tout nombre premier $p\neq 5$, $ \:\:\:\tau(p)$ divise $\left\{\begin{array} {cl} p-1& \text {si} \:p\equiv 1 \:\text{ou} \:4 \mod 5\\ p+1&\text {si}\: p\equiv 2\: \text{ou} \:3 \mod 5\\ \end {array} \right.\:$ -
$\def\Perm{\text{Perm}}$@Lou16
Vu ton premier post. Bien joué. Et ton second (je n'ai pas réfléchi mais je te crois volontiers). Je me permets d'illustrer tes affaires mais en gardant mes notations (sorry). J'ai pris $f = 7$ si bien le plus petit $n \ge 1$ tel que $f \mid F_n$ est $n = 8$ ($F_8 = 21$). Ce qui colle avec tes histoires modulo $5$ ($f$ est un premier, égal à 2 mod 5). Voilà ce que cela donne.[color=#000000] > f := 7 ; > A<a,b> := AbelianGroup([f, f]) ; > A ; Abelian Group isomorphic to Z/7 + Z/7 Defined on 2 generators Relations: 7*a = 0 7*b = 0 > Eltseq(a) ; [ 1, 0 ] > Eltseq(b) ; [ 0, 1 ] > A![2,3] ; 2*a + 3*b [/color]
Pas grand chose à dire pour l'instant. Ta permutation :[color=#000000] > FibonacciPermutation := iso < A -> A | [a -> b, b -> a+b] > ; > AutomorphismGroup(A) ! FibonacciPermutation ; Automorphism of Abelian Group isomorphic to Z/7 + Z/7 Defined on 2 generators Relations: 7*a = 0 7*b = 0 which maps: a |--> b b |--> a + b [/color]Pareil. Rien à signaler. Ce qui est plus difficile maintenant, du point de vue du logiciel , c'est de fabriquer une permutation au sens de la théorie des groupes symétriques i.e. il faut bosser dans $\Perm(\Z/f\Z \times \Z/f\Z)$. Ta permutation prend maintenant le nom de Lou16 et elle possède désormais les prérogatives de n'importe quelle permutation. On voit ci-dessous que le cycle qui contient $a = (1,0)$ (ou $b = (0,1)$, c'est le même cycle) est de longueur 16. Au début, cela m'a paru bizarre. Je me demande si je ne fais pas une boulette.[color=#000000] > S := {@ i*a + j*b : i,j in [0..f-1] @} ; > PermA := SymmetricGroup(S) ; > Lou16 := PermA ! [FibonacciPermutation(z) : z in S] ; > // a et b sont dans un même cycle de Lou16 > #Cycle(Lou16, a) ; 16 > Nf := [n : n in [1..10^2] | F(n) mod f eq 0] ; > Nf ; [ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 ] > Min(Nf) ; 8 1 > assert #Cycle(Lou16, b) mod Min(Nf) eq 0 ; [/color]Enfin, on peut le voir ce cycle, la structure de la permutation et la permutation toute entière[color=#000000] > Cycle(Lou16, a) ; {@ a, b, a + b, a + 2*b, 2*a + 3*b, 3*a + 5*b, 5*a + b, a + 6*b, 6*a, 6*b, 6*a + 6*b, 6*a + 5*b, 5*a + 4*b, 4*a + 2*b, 2*a + 6*b, 6*a + b @} > CycleStructure(Lou16) ; [ <16, 3>, <1, 1> ] > Lou16 ; (b,a + b,a + 2*b,2*a + 3*b,3*a + 5*b,5*a + b,a + 6*b,6*a,6*b,6*a + 6*b,6*a + 5*b,5*a + 4*b,4*a + 2*b,2*a + 6*b,6*a + b, a) (2*b,2*a + 2*b,2*a + 4*b,4*a + 6*b,6*a + 3*b,3*a + 2*b,2*a + 5*b,5*a, 5*b,5*a + 5*b,5*a + 3*b,3*a + b,a + 4*b,4*a + 5*b5*a + 2*b, 2*a) (3*b,3*a + 3*b,3*a + 6*b,6*a + 2*b,2*a + b,a + 3*b,3*a + 4*b,4*a,4*b,4*a + 4*b,4*a + b,a + 5*b,5*a + 6*b, 6*a + 4*b, 4*a + 3*b, 3*a) [/color]La structure de cycles : cela signifie qu'il y a 3 cycles de longueur 16 et un cycle de longueur 1 (le 0 qui est fixé). Et $3 \times 16 + 1 \times 1$, cela fait bien $7^2$ : le compte est bon. -
$\def\GL{\text{GL}}$@Lou16 Mais non, ce n'est pas pour coucher encore une illustration de ... Même si j'ai tout refait en travaillant cette fois dans $\GL_2(\Z/f\Z)$ et en utilisant le sous-groupe engendré par $\pmatrix {0 & 1\cr 1 & 1}$.
C'est juste à propos de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1729310,1731608#msg-1731608. Quand tu auras le temps (et l'envie), pourras tu nous donner des nouvelles de la divisibilité de $F_n$ par un premier $p$ et des tes merveilleuses congruences $p \equiv 1,4 \mod 5$ et $p \equiv 2,3 \bmod 5$. Tiens $p$ carré modulo 5 versus $p$ non carré modulo 5. Et du cas particulier $p = 5$, bien entendu.
Merci.
Note : cela pourrait donner l'idée à certains (pas moi, je suis retraité) de mettre au point un exercice ou un problème d'arithmétique (que l'on ne voit pas partout, non ?) -
@Lou16. J'ai pas pu m'en empêcher. Le plus petit $n \ge 1$ tel que $F_n \equiv 0 \bmod f$ et la longueur $m$ du cycle contenant $(1,0)$ de ton automorphisme $(x,y) \mapsto (y, x+y)$ de $\Z/f\Z\times \Z/f\Z$. Avec bien sûr $n \mid m$.
[color=#000000] n : plus petit entier >0 tq F_n = 0 mod f, m = longueur de l'orbite de (1,0) sous la permutation f=2 n=3 m=3 f=3 n=4 m=8 f=4 n=6 m=6 f=5 n=5 m=20 f=6 n=12 m=24 f=7 n=8 m=16 f=8 n=6 m=12 f=9 n=12 m=24 f=10 n=15 m=60 f=11 n=10 m=10 f=12 n=12 m=24 f=13 n=7 m=28 f=14 n=24 m=48 f=15 n=20 m=40 f=16 n=12 m=24 f=17 n=9 m=36 f=18 n=12 m=24 f=19 n=18 m=18 f=20 n=30 m=60 f=21 n=8 m=16 f=22 n=30 m=30 f=23 n=24 m=48 f=24 n=12 m=24 f=25 n=25 m=100 f=26 n=21 m=84 f=27 n=36 m=72 f=28 n=24 m=48 f=29 n=14 m=14 f=30 n=60 m=120 f=31 n=30 m=30 f=32 n=24 m=48 f=33 n=20 m=40 f=34 n=9 m=36 f=35 n=40 m=80 f=36 n=12 m=24 f=37 n=19 m=76 f=38 n=18 m=18 f=39 n=28 m=56 f=40 n=30 m=60 f=41 n=20 m=40 f=42 n=24 m=48 f=43 n=44 m=88 f=44 n=30 m=30 f=45 n=60 m=120 f=46 n=24 m=48 f=47 n=16 m=32 f=48 n=12 m=24 f=49 n=56 m=112 f=50 n=75 m=300 f=51 n=36 m=72 f=52 n=42 m=84 f=53 n=27 m=108 f=54 n=36 m=72 f=55 n=10 m=20 f=56 n=24 m=48 f=57 n=36 m=72 f=58 n=42 m=42 f=59 n=58 m=58 f=60 n=60 m=120 f=61 n=15 m=60 f=62 n=30 m=30 f=63 n=24 m=48 f=64 n=48 m=96 f=65 n=35 m=140 f=66 n=60 m=120 f=67 n=68 m=136 f=68 n=18 m=36 f=69 n=24 m=48 f=70 n=120m=240 f=71 n=70 m=70 f=72 n=12 m=24 f=73 n=37 m=148 f=74 n=57 m=228 f=75 n=100m=200 f=76 n=18 m=18 f=77 n=40 m=80 f=78 n=84 m=168 f=79 n=78 m=78 f=80 n=60 m=120 f=81 n=108m=216 f=82 n=60 m=120 f=83 n=84 m=168 f=84 n=24 m=48 f=85 n=45 m=180 f=86 n=132m=264 f=87 n=28 m=56 f=88 n=30 m=60 f=89 n=11 m=44 f=90 n=60 m=120 f=91 n=56 m=112 f=92 n=24 m=48 f=93 n=60 m=120 f=94 n=48 m=96 f=95 n=90 m=180 f=96 n=24 m=48 f=97 n=49 m=196 f=98 n=168m=336 f=99 n=60 m=120 f=100n=150m=300 f=101n=50 m=50 [/color]
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J'avais montré un jour sur ce sujet que tout nombre premier p apparait dans la décomposition d'un nombre F au plus tard avec F(p+1).
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Bonjour,
Je viens de lire ce fil(notamment les interventions de Claude, Lou et GBZM) un vrai plaisir!(tu).
Merci Yves pour cette question! -
$\def\f{\mathfrak f}$ Il y a quand même un peu de théorie des nombres dans cette histoire. Je note $B = \Z[\phi]$, $A = \Z[f\phi]$. Alors $\f = fB$ est à la fois un idéal de $B$ et un idéal de $A$ et c'est le plus grand pour cette propriété. C'est le conducteur de $A$ dans $B$ (ou de $B$ dans $A$ selon les jours de la semaine). Et c'est bien pour cela que je tiens à la notation $f, \f$. On dispose d'un cas très particulier (quadratique) de la formule de Dedekind-Siegel où je note $h_A$ l'ordre du groupe des classes d'idéaux (inversibles) de $A$ :
$$
h_A = h_B \times { [(B/\f)^\times : (A/\f)^\times] \over [B^\times : A^\times]}
$$
Ici, $B = \Z[\phi]$ est principal donc $h_B = 1$ ; c'est l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt 5)$ et son discriminant est 5. Et $A/\f$ est canoniquement isomorphe à $\Z/f\Z$. Le quotient (exact) à droite a pour numérateur le rapport (quotient exact de deux indicateurs d'Euler) $\varphi_{\Q(\sqrt 5)}(f) / \varphi_\Q(f)$. Le truc convoité est l'indice $[B^\times : A^\times]$ i.e. le plus petit entier $n \ge 1$ tel que $F_n \equiv 0 \bmod f$. On réécrit la chose :
$$
h_A \times \overbrace{[B^\times : A^\times]} ^{\text {wanted}} = {\varphi_{\Q(\sqrt 5)}(f) \over \varphi_\Q(f)}
$$
Un petit exemple ne peut pas faire de mal[color=#000000] > /* > B = Z[phi], A = Z[f*phi], F = f*B conducteur de A dans B, A/F = Z/fZ > > [(B/F)^x : (A/F)^x] > h_A = h_B x ------------------- > [B^x : A^x] > > Ici h_B = 1 et B est de discriminant (fondamental) 5 > > Du coup h_A x [B^x : A^x] = q où q est le quotient des deux indicateurs d'Euler > i.e. celui de f sur Q(\/5) divisé par celui de f sur Q > */ > > phiD := 5 ; // discriminant (fondamental) de Z[phi] > f := 74 ; > time q := EulerPhisQuotient(phiD, f) ; Time: 0.000 > q ; 114 > time hA := ClassNumber(f^2*phiD) ; Time: 0.070 > hA ; 2 > Qf := BinaryQuadraticForms(f^2*phiD) ; > time assert hA eq #ReducedForms(Qf) ; Time: 0.060 > time n, _ := FibonacciGenerator(f) ; // n est l'indice [B^x : A^x] convoité Time: 0.000 > n ; 57 > hA * n eq q ; true [/color]
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Bonjour,
Merci @GaBuZoMeu http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1729310,1731576#msg-1731576 pour l'explication (tu). Je crois qu'il faut écrire : Soit un entier $n>1.$ On travaille modulo $n$, et on note, pour tout $k$ entier, $f_k$ la classe de $F_k$ modulo $n$, non ? -
Bonjour,
1/89 est 5ème terme de la suite U(k) = 1/ (F(k-1)² +F(k)² ) pour k >= 1 et ( F ) suite de Fibonacci -
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Après , chacun voit à sa façon. Personnellement, j'opterais pour une décompo en E. S. en "plongeant" dans C .
Cordialement, -
$\def\GL{\text{GL}}$ Dernier post, promis juré. Ici j'examine les orbites du groupe engendré par la matrice de ``Fibonacci'' $\pmatrix {0 &1\cr 1 & 1\cr}$ dans $\GL_2(\Z/f\Z)$. Les orbites sur $(\Z/f\Z)^2$.
[color=#000000] > f := 30 ; > {* #O : O in Orbits(FibonacciSubgroup(f)) *} ; {* 1, 3, 4, 8^^5, 12, 20, 24^^5, 40^^4, 60, 120^^4 *} > &+{* #O : O in Orbits(FibonacciSubgroup(f)) *} ; 900 > f^2 ; 900 [/color]Ci-dessus, j'ai pris $f = 30$ et on voit les cardinaux des orbites : par exemple, il y 5 orbites de cardinal $8$, $4$ de cardinal 40. On est bien content de le savoir. Et quand on somme les cardinaux de toutes les orbites, on trouve évidemment $f^2$.
Maintenant, je fais afficher $f$ puis la distribution des cardinaux des orbites et enfin le plus petit $n \ge 1$ tel que $F_n \equiv 0 \bmod f$. Par exemple, pour $f = 16$, on a $n = 12$ (et $F(12) = 144 = 16 \times 9$).[color=#000000] > [<f, {* #O : O in Orbits(FibonacciSubgroup(f)) *}, FibonacciGenerator(f)> : f in [2..30]] ; [ <2, {* 1, 3 *}, 3>, <3, {* 1, 8 *}, 4>, <4, {* 1, 3, 6^^2 *}, 6>, <5, {* 1, 4, 20 *}, 5>, <6, {* 1, 3, 8, 24 *}, 12>, <7, {* 1, 16^^3 *}, 8>, <8, {* 1, 3, 6^^2, 12^^4 *}, 6>, <9, {* 1, 8, 24^^3 *}, 12>, <10, {* 1, 3, 4, 12, 20, 60 *}, 15>, <11, {* 1, 5^^2, 10^^11 *}, 10>, <12, {* 1, 3, 6^^2, 8, 24^^5 *}, 12>, <13, {* 1, 28^^6 *}, 7>, <14, {* 1, 3, 16^^3, 48^^3 *}, 24>, <15, {* 1, 4, 8^^5, 20, 40^^4 *}, 20>, <16, {* 1, 3, 6^^2, 12^^4, 24^^8 *}, 12>, <17, {* 1, 36^^8 *}, 9>, <18, {* 1, 3, 8, 24^^13 *}, 12>, <19, {* 1, 9^^2, 18^^19 *}, 18>, <20, {* 1, 3, 4, 6^^2, 12^^5, 20, 60^^5 *}, 30>, <21, {* 1, 8, 16^^27 *}, 8>, <22, {* 1, 3, 5^^2, 10^^11, 15^^2, 30^^11 *}, 30>, <23, {* 1, 48^^11 *}, 24>, <24, {* 1, 3, 6^^2, 8, 12^^4, 24^^21 *}, 12>, <25, {* 1, 4, 20^^6, 100^^5 *}, 25>, <26, {* 1, 3, 28^^6, 84^^6 *}, 21>, <27, {* 1, 8, 24^^3, 72^^9 *}, 36>, <28, {* 1, 3, 6^^2, 16^^3, 48^^15 *}, 24>, <29, {* 1, 7^^4, 14^^58 *}, 14>, <30, {* 1, 3, 4, 8^^5, 12, 20, 24^^5, 40^^4, 60, 120^^4 *}, 60> ] [/color]Pourquoi je fais cela ? Pour faire mumuse. Et surtout pour utiliser pendant au moins 10 minutes mes fonctions mises au point que je n'utiliserai plus jamais dans la suite. -
Bonjour;
@Claude Quitté
Je commence par évoquer la question de la divisibilité de $F_n$ par un nombre premier
Soit $p$ un nombre premier impair. On utilisera la loi de réciprocité quadratique $(\mathcal R)$, ainsi que de la congruence suivante.
$ \forall k \in [\![2, \frac{p-1}2]\!],\:\:\displaystyle{ \binom{p+1}{2k-1} \equiv 0 \mod p}\:\:(\star)$
$\bullet$ Si $p \equiv 1\:$ ou $\:4 \mod 5$ , alors d' après $(\mathcal R),\:\:\exists a \in \Z$ tel que $a^2 \equiv 5 \mod p.$ Le "petit théorème de Fermat" entraine que dans le corps $\mathbb F_p =\Z/p\Z$, on peut écrire: $F_{p-1} =\dfrac {(1+a)^{p-1} - (1-a)^{p-1}} {2^{p-1}a} = 0. $ Ainsi $\boxed{F_{p -1} \equiv 0 \mod p.}$
$\bullet$ Si $p \equiv 2$ ou $3 \mod 5$, alors $5 ^{\frac{p-1}2}\overset{(\mathcal R)}{ \equiv }-1 \mod p.\:\: \exists a \in \mathbb F_{p^2}$ tel que $a^2 =5.$ Les égalités ci-dessous sont dans $\mathbb F_{p^2}.$
$F_{p+1} = \dfrac{(1+a)^{p+1} -(1-a)^{p+1}}{ 2^{p+1} a} = \dfrac1{2a} \displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \frac{p+1}2} \binom{p+1}{2k-1} a^{2k-1}\overset{( \star)}{=} \dfrac1{2a}(a+a^p) =\dfrac12(1 + 5^{\frac {p-1}2})} =0,$ ce qui entraine $\boxed{F_{p+1}\equiv 0 \mod p.}$
$\bullet$ Les relations $\tau(2) = 3$ et $\tau(5)=5$ résultent immédiatement de l'examen de la suite de Fibonacci modulo $2$ et modulo $5.$ -
Re
@ Claude Quitté
Quelques broutilles sur la "dynamique" de $f: E_n^* \longrightarrow E_n ^*\:\:\: (x,y)\longmapsto (y,x+y)$ où $n\in \N^*$ et $E_n^* = ((\Z/n\Z)^*)^2.$ Je conserve les notations de mon précédent message J'ai cru utile de définir:
$\tau(n) = \inf \{ k\in \N^*\mid F_k \equiv 0 \mod n\},\:\: \alpha(n) = \inf\{k \in \N^* \mid f^{(k)} (0,1) = (0,1)\} $ et $\beta (n) = \inf\{k \in \N^* \mid f^{(k)} = \mathrm{Id}\}.$
On a $ \forall n \in \N^*,\:\: \tau (n) \mid \alpha(n) \mid \beta (n) $.
Je me limite désormais au cas (facile) où $n =p$ avec $p$ premier impair différent de $2$ et de $5$, considérant que les situations plus générales sont plutôt destinées à ceux qui sont en seconde année.
Mon message précédent entraine que $\tau(p) \mid p-\varepsilon(p)$ où $ \varepsilon(p)$ est le caractère quadratique de $5$ modulo $p.$
$\bullet$ Si $\varepsilon(p) = -1$, alors $\alpha(p) = \beta (p) = \:\text{ordre de}\: \dfrac{1+a}2\:\text{ dans} \:\mathbb F_{p ^2}^{\times}$.
$f$ est alors la composée de cycles disjoints ayant tous la même longueur $\alpha(p)$. On a aussi $\alpha(p) \mid p^2-1$
$\bullet$ Si $\varepsilon(p) = 1$, alors la situation est moins favorable car $\dfrac{1+a}2$ et $\dfrac{1-a}2$ n'ont pas nécessairement le même ordre dans $\mathbb F_p ^{\times}$.
On a cependant $\alpha(p)=\beta(p)$ et $\alpha(p)$ divise $p-1$.
Si de plus $p\equiv 3 \mod 4$, alors les cycles disjoints intervenant dans la décomposition de $f$ n'ont pas la même longueur: il apparait exactement $2$ longueurs.
Si tu as le temps , le goût et la volonté de contrôler, avec tes appareils, la vraisemblance de mes propos, je t'en serai reconnaissant. -
Wow...je ne pensais pas déclencher tout ça avec mon premier message, d'autant que j'avais mal compris la question initiale...;-)
Pierre. -
$\def\F{\mathbb F}$@LOU16
A propos de ton avant dernier post (pas celui sur la dynamique ...etc..). Je regarde pour l'instant le cas $p \equiv 1,4 \bmod 5$. Au lieu de considérer une racine carrée de 5 modulo $p$, il me semble que cela serait plus simple de considérer une racine de $X^2 - X -1$ (qui est de discriminant $5$) modulo $p$, de manière à ce que cela colle mieux à $\phi = {1 + \sqrt 5 \over 2}$. Je détaille, en revenant à $\phi$ (dans $\R$ ou $\C$ comme disent les gens !) et son $\Q$-conjugué $\widetilde\phi$ :
$$
\phi^2 - \phi - 1 = 0, \qquad \phi + \widetilde \phi = 1, \qquad \phi\widetilde\phi = -1
$$
Et on a, pour $n \in \Z$ :
$$
\phi^n = F_{n-1} + F_n\phi, \qquad \widetilde \phi^n = F_{n-1} + F_n\widetilde \phi, \qquad \qquad\qquad \hbox {(par différence)}\qquad\qquad
\fbox {$(\phi - \widetilde\phi) F_n = \phi^n - \widetilde\phi^n$}
$$
A droite, j'ai encadré une relation universelle. Je veux dire que si $R$ est un anneau commutatif avec un élément $\phi \in R$ vérifiant $\phi^2 - \phi - 1 = 0$, alors on aura, dans $R$, la relation encadrée à condition de poser $\widetilde \phi = 1 - \phi$ (et d'y penser, si l'on veut, comme un ``conjugué'' de $\phi$).
Du coup, revenons à $p \equiv 1,4 \bmod 5$, de sorte que $5$ est un carré modulo $p$ (loi de réciprocité quadratique) ; on prend $R = \F_p$ et $\phi, \widetilde \phi$, les deux racines de $X^2 - X - 1$. Et l'encadré est valide pour tout $n$. En particulier pour $n = p-1$, ce qui donne, puisque $\phi^{p-1} = \widetilde\phi^{p-1} = 1$ dans $\F_p$ que $F_{p-1} = 0$ dans $\F_p$. En ayant bien sûr vérifié au préalable, que $\phi \ne \widetilde \phi$ dans $\F_p$ (ce qui est immédiat car le discriminant $5$ n'est pas nul dans $\F_p$).
Pas eu le temps de regarder l'autre cas (mais bien envie quand même de prendre $R = \F_{p^2}$).
Une autre méthode, où on va voir que $p-1$ et $p+1$ débarquent de $(p-1)^2 \over p-1$ et $p^2 - 1 \over p-1$. Je prends les notations de mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1729310,1731718#msg-1731718 avec $B = \Z[\phi]$ et $A = \Z[p\phi]$. Et comme toi, je note $\tau(p)$ le plus petit entier $n \ge 1$ tel que $F_n \equiv 0 \bmod p$. J'ai déjà raconté que $\tau(p)$ est l'indice des groupes multiplicatifs $[B^\times : A^\times]$. Et j'ai mentionné l'égalité, cas particulier de Dedekind-Siegel
$$
h_A \times \tau(p) = {\varphi_B(p) \over \varphi_\Z(p)} \quad \buildrel {\rm def} \over = \quad {\#(B/pB)^\times \over \#(\Z/p\Z)^\times} = {\#(B/pB)^\times \over p-1}
$$
Si $p \equiv 1,4 \bmod 5$, alors $5$ est un carré modulo $p$ et $p$ est décomposé dans $B$ de sorte que $B/pB \simeq \F_p \times \F_p$ et $(B/pB)^\times \simeq \F_p^* \times \F_p^*$, d'ordre $(p-1)^2$. D'où $h_A \times \tau(p) = p-1$.
Si $p \equiv 2,3 \bmod 5$, alors $5$ n'est pas un carré modulo $p$ et $p$ est inerte dans $B$. De sorte que $B/pB \simeq \F_{p^2}$ et $(B/pB)^\times$ est d'ordre $p^2 -1$. D'où $h_A \times \tau(p) = p+1$.
Cela semble utiliser un arsenal de théorie algébrique des nombres ? Oui et non. Car on pourrait TOUT expliciter pour la bonne raison que cela ne dépasse pas l'équation du second degré et le discriminant. Je dis bien TOUT. Inutile de faire croire aux gens que .. Idem pour Dedekind-Siegel : faut-il faire la totale et appliquer ensuite au cas quadratique comme je l'ai prétendu. Attitude évidemment stupide de ma part. Car le cas quadratique est évidemment plus simple que le cas général. Et Gauss connaissait ce cas particulier. Bref, si on VOULAIT, on pourrait faire passer des éléments simples de théorie des nombres dans le cas quadratique sans faire ch.er les gens en COMMENCANT avec les anneaux de Dedekind ...etc.. Le veut-on ? C'est une autre histoire. -
$\def\F{\mathbb F}\def\GL{\text{GL}}$@LOU16
J'ai commencé à regarder ton post sur la ``dynamique de ...''. Il s'agit donc, en un certain sens, d'étudier le comportement multiplicatif de la matrice $F = \pmatrix {0 & 1\cr 1 & 1}$ sur $\F_p$ ou sur un anneau fini comme $\Z/N\Z$. Cette matrice $F$ est inversible sur $\Z$, a fortiori sur n'importe quel anneau.
Des généralités sur un anneau commutatif quelconque $R$. Si $P \in R[X]$ est un polynôme unitaire de degré $\ge 1$ et $C_P$ sa matrice compagnon, on a un isomorphisme canonique de $R$-algèbres $R[C_P] \simeq R[X]/\langle P \rangle$. Autrement dit, la matrice $C_P$, c'est pareil que $X \bmod P$. Disons que je ne fais guère la différence. Si je cause de cela, c'est que $F$ est la matrice compagnon de $X^2 - X -1$, à moins que cela soit dans l'autre sens, $X^2-X-1$ est le polynôme caractéristique de $F$.
$\bullet$ Dans le premier cas dans lequel tu te places, i.e. $p \equiv 2,3 \bmod 5$, $\F_p[X] /\langle X^2 - X-1\rangle$ est un corps (d'ordre $p^2$). C'est le corps que j'ai envie de noter $\F_p(\phi) = \F_p[\phi]$ où $\phi$ c'est $X$ modulo le modulus $X^2 - X -1$. On a donc, dans ce corps, $\phi = {1 + \sqrt 5 \over 2}$. Ce $\phi$ dont je parle c'est ton $1 + a \over 2$ où $a \in \F_{p^2}$ est une racine carrée de $5$.
Et donc, on a bien, presque par définition pour moi, que l'ordre de $1 + a \over 2$ dans $\F_{p^2}^\times$, c'est l'ordre de $F$ sur $\F_p$ i.e. dans $\GL_2(\F_p)$ si l'on veut. Ordre que tu notes $\beta(p)$.
Voilà où j'en suis. Un petit bonus (toujours dans ce premier cas), c'est que l'ordre $\beta(p)$ divise $2(p+1)$ (et même souvent égal à $2(p+1)$, souvent ne voulant pas dire grand chose, j'en conviens). Cela découle du calcul suivant, qui se passe dans le corps $\F_p(\phi) = \F_{p^2}$, où tu devines ce qu'est $\widetilde \phi$
$$
\phi^{p+1} = \phi^p \times \phi \quad \buildrel {(\heartsuit)} \over =\quad \widetilde \phi \times \phi = -1 \qquad \qquad \qquad (\star)
$$
L'égalité $(\heartsuit)$ découle du fait que l'élévation à la puissance $p$ est un automorphisme du corps $\F_p(\phi)$ et transforme donc $\phi$ soit en $\phi$ soit en l'autre racine $\widetilde \phi$ de $X^2 - X -1$. Mais on ne peut pas avoir $\phi^p = \phi $ (cela impliquerait que $\phi$ est dans $\F_p$, ce qui n'est pas).
Une fois obtenu $(\star)$, il suffit d'élever au carré. Note, puisque $\phi^n = F_{n-1} + F_n \phi$ là où l'on travaille, que $(\star)$ a comme conséquence que $F_p \equiv -1 \bmod p$ et de nouveau $F_{p+1} \equiv 0 \bmod p$.
PS1 : je pourrais te montrer ce que signifie : on a souvent $\beta(p) = 2(p+1)$.
PS2 : j'ai fait des vérifications à l'aide de mes outils. Je n'ai aucune confiance en les systèmes de Calcul Formel vu que je les utilise de manière intensive. Et j'ai eu une désagréable surprise difficile à expliquer à une personne qui n'est pas du domaine. J'essaie quand même : j'ai utilisé hier un constructeur $\GL_2(\Z/f\Z)$ avec mes notations, $f$ étant un entier quelconque (pas nécessairement premier). Et j'ai voulu continuer à l'utiliser ce jour avec $f = p$ premier. Et j'ai constaté à ce moment là, qu'il élaborait $\GL_2(\Z/f\Z)$ comme un groupe de présentation finie .. avec des calculs erronés sur les cardinaux du sous-groupe $\langle F\rangle$ !!. Quelle horreur. Je l'ai mis de côté et je l'ai remplacé par un constructeur matriciel $\GL_2(\F_p)$. Je pense que c'est clair comme du jus de boudin, mon explication. Si je dis cela, c'est que je ne suiis pas sûr de certains résultats affichés hier (résultats dont tout le monde se fiche et c'est tant mieux). -
$\def\GL{\text{GL}}\def\F{\mathbb F}\def\Orb{\text{Orbite}}$@LOU16 Je continue (et termine) l'analyse de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1729310,1732124#msg-1732124. Je continue à noter $F = \pmatrix {0 &1\cr 1 & 1\cr}$ la ``matrice de Fibonacci'' que je peux voir à coefficients dans n'importe quel anneau commutatif $R$ (elle y est inversible et son inverse est l'opposée de son adjointe). Je note $e_1 = \pmatrix{1\cr 0}$, $e_2 = \pmatrix {0\cr 1}$ la base canonique de $R^2$ de sorte que $F \cdot e_1 = e_2$.
Je prolonge ta notation $\beta$ à n'importe quel anneau commutatif FINI $R$ en notant $\beta(R)$ l'ordre de $F$ (ou de $\langle F\rangle$) dans $\GL_2(R)$. Il faut surtout penser à $R = \F_p$ ou $R = \Z/N\Z$, auquel cas $\beta(R)$ est égal à ton $\beta(N)$.
Idem pour $\alpha$ : c'est le cardinal de l'orbite de $e_1$ sous $\langle F\rangle$. J'ai mis $e_1$ mais on peut prendre $e_2$ puisque $\Orb_{\langle F\rangle}(e_1) = \Orb_{\langle F\rangle}(e_2)$ vu que $F \cdot e_1 = e_2$.
1. Je dis que $\alpha(R) = \beta(R)$. En effet, le fixateur de $e_1$ sous $\langle F\rangle$ est aussi le fixateur de $e_2$ vu que $F \cdot e_1 = e_2$. Dit autrement, une puissance de $F$ qui fixe $e_1$, fixe $e_2$ donc c'est l'identité. En conséquence $\langle F\rangle \ni G \mapsto G\cdot e_1 \in \Orb_{\langle F\rangle}(e_1)$ est une bijection, d'où l'égalité des cardinaux.
2. Je passe à $R = \F_p$ avec $p \equiv 1,4 \bmod 5$ de sorte que $5$ est un carré modulo $p$ et donc $X^2 - X - 1$ est scindé dans $\F_p[X]$ : $X^2 - X - 1 = (X-x_1)(X-x_2)$ avec $x_1, x_2 \in \F_p$ vérifiant $x_1x_2 = -1$. Bien sûr, avec tes notations, $x_i = {1 \pm a \over 2}$ où $a$ est une racine carrée de $5$ dans $\F_p$.
Je prends maintenant le point de vue $\F_p[X]/\langle X^2 - X -1\rangle$ comme raconté dans mon post précédent. L'ordre de la matrice $F$ sur $\F_p$ c'est l'ordre de $\overline X$ (la classe de $X$) dans le groupe des inversibles de ce quotient (dans mon post précédent, $\overline X$ était baptisée parfois $\phi$). On a, via l'évaluation en $x_1, x_2$ un isomorphisme canonique :
$$
{\F_p[X] \over \langle X^2 - X -1\rangle} \simeq \F_p \times F_p, \qquad\qquad \overline X \longleftrightarrow (x_1,x_2)
$$
On a donc que $\beta(p)$ est le ppcm des ordres de $x_1, x_2$ dans $\F_p^*$ (donc un diviseur de $p-1$, comme tu l'as remarqué).
On peut ajouter un mini-bonus grâce à $x_1x_2 = -1$. Supposons par exemple l'ordre de $x_1$ impair ; comme $x_2 = -x_1^{-1}$, l''ordre de $x_2$ est le double de l'ordre de $x_1$. Idem en permutant $x_1, x_2$ (qui sont de toutes manières indistinguables). Enfin, en supposant que $x_1, x_2$ sont tous les deux d'ordre pair, on obtient qu'ils ont même ordre. -
Bonjour,
@claude quitté : maintenant que tu es chaud B-) sur les nombres de Fibonacci, pourquoi ne t'attaques-tu pas à une conjecture (non démontrée à ce jour).
Conjecture : Le premier nombre de Fibonacci non-nul et divisible par un nombre premier, $p$, n'est pas divisible par le carré de ce nombre premier, $p^2.$ -
@Yves M.
M'attaquer à une conjecture non résolue, je vais dire que cela ne m'intéresse pas du tout. D'abord, il faudrait que j'en sois capable et je suis persuadé que ce n'est pas le cas (il faut une certaine constance, du sérieux ..etc..) Je préfère comprendre un peu de maths, c'est déjà si compliqué. Et m'amuser. Je ne sais pas si la comparaison qui vient est vraiment pertinente : vouloir découvrir une nouvelle étoile ? Non. Mais contempler celles qui sont dans le ciel, oui. -
Bonjour,
Je comprends. Et si au lieu d’une conjecture je te présente cet énoncé comme un oral d’Ulm ? Tu as 20 minutes de préparation... :-D
Bon je peux garder cette conjecture pour Shtam... et proposer mes démonstrations hasardeuses. -
Claude Quitté écrivait:
> vouloir découvrir une nouvelle étoile ? Non.
> Mais contempler celles qui sont dans le ciel, oui.
C'est très beau. Puis-je le réutiliser ? -
Oui je confirme, quelle belle phrase de ClaudeX:-(...Enfin même si j'ai un faible pour les nouvelles étoiles:-D
Al-Kashi -
$\def\GL{\text{GL}}$Hello
A propos des étoiles. J'ai retrouvé qui m'avait inspiré : il s'agit de Didier Nordon, ``Les mathématiques pures n'existent pas''. Son introduction s'intitule ``L'étoile et l'astronomie'' et se termine par cette phrase ``Reproche-t-on à l'astronome de ne pas créer d'étoile''. Bien sûr, il faudrait que j'en dise plus, dans quel contexte il dit cela ...etc.. Cela risquerait de nous emmener loin. Je dis juste que Nordon se livre à une réflexion sur le rôle social des mathématiques, une certaine critique de la recherche mathématique, de la production (sic) mathématique (les articles, les séminaires et tout le binz), du système quoi. De NOTRE système. Mais où est ce que je suis parti ?
Dans le même ordre d'idées, je ne peux pas m'empêcher de penser au fil ouvert par Seirios La science dont je rêve in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,1677920,1677920#msg-1677920 et le discours de Laure Saint-Raymond qui y est pointé https://www.rnbm.org/la-science-dont-je-reve-par-laure-saint-raymond/. On trouve d'ailleurs le pdf de son discours in https://www.rnbm.org/wp-content/uploads/2018/07/LSR_ACADEMIE_2018.pdf
Pratiquement aucun écho au fil de Seirios. Mais où est ce que je suis parti ? (bis)
Vite, vite, raccrochons nous à la TECHNIQUE. Cela évitera peut-être mon exclusion. Je dois absolument revenir sur le dernier paragraphe de
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1729310,1732572#msg-1732572 dans lequel je prétends que mon logiciel a fait des siennes en élaborant $\GL_2(\Z/f\Z)$ comme un groupe de présentation finie. NON. Il s'agit d'une erreur de MA part.
J'ai confondu deux noms : le nom FibonacciSubgroup(f). C'est une fonction de mézigue qui retourne le sous-groupe de $\GL_2(\Z/f\Z)$ engendré par la matrice de Fibonacci $F = \pmatrix {0 & 1\cr 1 & 1}$.[color=#000000] > G := FibonacciSubgroup(8) ; > G ; MatrixGroup(2, IntegerRing(8)) Generators: [0 1] [1 1] > #G ; 12 [/color]Le sous groupe engendré par $F$ dans $\GL_2(\Z/8\Z)$ est d'ordre 12. Et on est bien content de le savoir, n'est ce pas ?
J'ai confondu à un moment donné avec FibonacciGroup(f) qui est une primitive de magma (non documentée)[color=#000000] > G := FibonacciGroup(8) ; > G ; Finitely presented group G on 8 generators Relations G.1 * G.2 * G.3^-1 = Id(G) G.2 * G.3 * G.4^-1 = Id(G) G.3 * G.4 * G.5^-1 = Id(G) G.4 * G.5 * G.6^-1 = Id(G) G.5 * G.6 * G.7^-1 = Id(G) G.6 * G.7 * G.8^-1 = Id(G) G.7 * G.8 * G.1^-1 = Id(G) G.8 * G.1 * G.2^-1 = Id(G) > G<g1,g2,g3,g4,g5,g6,g5,g8> := FibonacciGroup(8) ; > G ; Finitely presented group G on 8 generators Relations g1 * g2 * g3^-1 = Id(G) g2 * g3 * g4^-1 = Id(G) g3 * g4 * g5^-1 = Id(G) g4 * g5 * g6^-1 = Id(G) g5 * g6 * g5^-1 = Id(G) g6 * g5 * g8^-1 = Id(G) g5 * g8 * g1^-1 = Id(G) g8 * g1 * g2^-1 = Id(G) [/color]J'ignore totalement ce qu'est ce groupe. Peut-être en rapport avec les groupes de Fibonacci que Conway a étudié. Cf par exemple http://staff.itee.uq.edu.au/havas/1979hrs.pdf
Yves : je suis désolé de cette (dernière, si, si) intrusion. Note que j'ai prononcé plusieurs fois le nom de Fibonacci. Pour faire semblant de rester dans le sujet (oui, c'est un peu lâche de ma part). -
Peut être certains d'entre vous connaissent ceci ?
....................
Maintenant, ce qui suit est du domaine du constat, à partir duquel on peut émettre des hypothèses.
A part F(5)=5, les nombres de Fibonacci de rang premier p sont de la forme 2kp+(ou)-1.
En voici la liste jusqu'à F73
F7=13= 2*7-1
F11=89= 8*11+1
F13=233= 18*13-1
F17=1597= 94*17-1
F19=4181= (2*19-1)*(6*19-1)
F23=28657= 1246*23-1
F29=514229= 17732*29+1
F31=1346269= (18*31-1)(78*31-1)
F37=24157817= (2*37-1)(4*37+1)(60*37+1)
F41=165 580 141= (68*41+1)(1448*41+1)
F43=433 494 437= 10 081 266*43-1
F47=2 971 215 173= 2k*47-1
F53=53 316 291 173 (2k1*53-1)(2k2*53+1)
F59=956 722 026 041 (2k1*59-1)(2k2*59-1)
F61=2 504 730 781 961 (2k1*61-1)(2k2*61-1)
F67=44 945 570 212 853 (2k1*67+1)(2k2*67+1)(2k3*67-1)
F71=308 061 521 170 129 (2k1*71-1)(2k2*71-1)
F73=806 515 533 049 393 (2k1*73+1)(2k2*73-1)
A partir de F47, le nombre exact est remplacé, par simplification d'écriture, par 2k, 2k1, 2k2,...
Evidemment, chaque terme de décomposition est premier.
Arrêt à F73 par manque d'outil pour la décomposition. -
$\def\F{\mathbb F}$@nodgim
Si je peux me permettre. J'ai prouvé 2 ou 3 trucs dans ce fil. En particulier que pour tout $n \in \Z$, on a de manière UNIVERSELLE, $\fbox{$\phi^n = F_{n-1} + F_n \phi$}$. De manière universelle signifiant dans l'anneau commutatif où vit (un) $\phi$ vérifiant $\phi^2 - \phi - 1 = 0$.
$\bullet$ Par ailleurs, pour $p \equiv 2, 3 \bmod 5$ ($p \ne 2$) figure une preuve de $\phi^{p+1} = -1$ au dessus du corps $\F_p$. Ce qui fournit
$$
F_p \equiv -1 \bmod p, \qquad F_{p+1} \equiv 0 \bmod p, \qquad\qquad \fbox{pour $p \equiv 2, 3 \bmod 5$}
$$
$\bullet$ De manière analogue, pour $p \equiv 1, 4 \bmod 5$, figure une preuve de $\phi^{p-1} = 1$, toujours au dessus du corps $\F_p$. Ce qui fournit
$$
F_{p-2} \equiv 1 \bmod p, \qquad F_{p-1} \equiv 0 \bmod p, \hbox { et par addition} \quad F_{p} \equiv 1 \bmod p,
\qquad\qquad \fbox{pour $p \equiv 1, 4 \bmod 5$}
$$ -
La suite :
f(79) = 14472334024676221 = 2p*2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 41 * 521 * 859 * 2161 +1 f(83) = 99194853094755497 = 2p*3^2 * 281 * 1427 * 2789 * 59369 -1 f(89) = 1779979416004714189 = 2p*2 * 3 * 11 * 19 * 31 * 43 * 181 * 199 * 307 * 541 +1 f(97) = 83621143489848422977 = 2p*13 * 769 * 2207 * 3167 * 6168709 -1 f(101) = 573147844013817084101 = 2p*2*5^2*11*151*919*3001*3469*3571 +1 f(103) = 1500520536206896083277 = 2p*7*1597*6376021*102193207 -1 f(107) = 10284720757613717413913 = 2p*3^4*953*11128427*55945741 -1 f(109) = 26925748508234281076009 = 2p*2^2*11^2*17*19*53*199*331*5779*39161 +1 f(113) = 184551825793033096366333 = 2p*37*47*797*54833*10745088481 -1 f(127) = 155576970220531065681649693 = 2p*13*17*421*35239681*186812208641 -1 f(131) = 1066340417491710595814572169 = 2p*2^2*11*89*199*521*2081*9901*19801*24571 +1 f(137) = 19134702400093278081449423917 = 2p*7*829*18077*28657*23230657239121 -1 f(139) = 50095301248058391139327916261 = 2p*2*5*11*13*29*71*461*691*911*141961*1485571 +1 f(149) = 6161314747715278029583501626149 = 2p*2*11*31*73*101*151*2221*12301*18451*54018521 +1 f(151) = 16130531424904581415797907386349 = 2p*2*3*11*31*37*101*113*9349*12301*18451*29134601 +1 ... f(479) = 2p*2^5*3^2*5*7*11*23*31*41*47*61*241*1103*1601*2161*2521*3041*7649*20641*23735900452321*24216191671442408226762026802756956706931169 +1
Au-delà, ça rame un peu pour factoriser.
On peut cependant vérifier que $f(p)\equiv\pm1\pmod{2p}$ beaucoup plus loin, je viens de le faire pour $p\le200\,000$.
PS : Désolé Claude, j'ai pourtant lu ce que tu as écrit avec intérêt mais apparemment sans mémoire et j'ai programmé ce test inutile sans y réfléchir. -
En principe, si. Qu'est-ce qui t'en fait douter ?
-
Parce que de F31 à F73, il n'y a que 2 nombres premiers, et là de F79 à F151 il n'y aurait que des nombres premiers ?
C'est possible, mais étonnant.
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