Une conjecture. Cercles et points entiers

Al-Kashi · November 2018

Bonjour,
Au risque de réinventer l'eau chaude, n'hésitez pas à me rediriger si ce que je propose est bien ancien(:D
J'ai quelques éléments qui me laisse penser la chose suivante.

Conjecture:
Pour tout nombre entier $n$, il existe un cercle contenant exactement $n$ points à coordonnées entières à l'intérieur de ce cercle
On supposera que le contour ne fait partie de l'intérieur.

Connaissez-vous des éléments connus à ce sujet dans littérature mathématiques.
Cordialement,
Al-Kashi

Cidrolin · November 2018

Peut-être :https://math.stackexchange.com/questions/2170608/proving-that-a-circle-will-contain-n-lattice-points ?

Al-Kashi · November 2018

Oups je me suis mal exprimé Cidrolin, je corrige.

Al-Kashi

Al-Kashi · November 2018

Pour être honnête, je pense même en avoir une preuve , mais celle-ci me semble tellement simple que je préfère rester prudent.

Al-Kashi

Math Coss · November 2018

Le lien proposé par Cidrolin en donne une. Il montre que les saut de la fonction qui à $r$ associe le nombre de points du disque de centre $(1/3,\pi/3)$ et de rayon $r$ sont de $1$. Cette fonction est croissante, constante sur des intervalles de la forme $\left]a_k,a_{k+1}\right]$ ou $\left[a_k,a_{k+1}\right[$ selon que l'on compte ou pas les points sur le bord.

Al-Kashi · November 2018

Au temps pour moi, en effet cela répond à mon problème et en fait une belle preuve "élémentaire".
Cela me semblait plus difficile à prouver au départ.

Celle qui me semble aussi juste est une récurrence. En image car cela est long à formaliser:
A partir d'un cercle contenant $n$ points on augmente le rayon jusqu'à obtenir au moins un point sur le cercle.
Si d'autre apparaissent on effectue un déplacement $ \epsilon$ du centre en direction de l'un des points de sorte à conserver les $n$ à l'intérieur et "éliminer" les autres. Enfin au augmente le rayon d'une valeur minime permettant de contenir le point en question mais pas les autres... Bof je sais pas si je suis clair.

Merci pour vos réponses,

Al-Kashi 81660

Al-Kashi · November 2018

Et si je comprends bien, mon anglais étant défaillant, il est plus complexe de prouver que pour tout $n$ il existe un cercle tel que exactement $n$ points appartiennent à ce cercle.

Al-Kashi