Factorielle et fonctions symétriques

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Arithmétique
Bonjour

Quelqu'un connaît-il la formule suivante ?
$(n+1)! = 1 + \sigma_1 + \sigma_2 + \cdots + \sigma_{n-1} + \sigma_n$, les $\sigma_k$ désignant les fonctions symétriques des $n$ premiers entiers.

A+
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)={?}$$
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Plus généralement :
    $(x_1 + r)...(x_n + r) = r^n + r^{n-1}\sigma_1 + … + r\sigma_{n-1} + \sigma_n$.

    La formule précédente est une conséquence de celle-ci, mais je voulais savoir si elle avait un nom particulier.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ce n'est qu'une variante de la relation entre les coefficients et les racines.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    C'est aussi une généralisation de la formule du binôme.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    :-S

    PS. Ce qui me semble curieux dans ta remarque, c'est que la formule qui t'intéresse est une conséquence immédiate des relations coefficients-racines, mais elle ne se déduit bien sûr pas de la formule du binôme.
  • Amathoué
    Amathoué
    Bonjour,

    J’ai compris que son deuxième message était une généralisation de la formule du binôme.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Certes, mais ce que je dis est qu'il y a une différence de nature : application directe des relations coefficients-racines, généralisation assez large de la la formule du binôme. Si on va par là, les relations coefficients-racines sont elles-mêmes une généralisation de la formule du binôme !
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