Conjectures à propos de la suite de Fibonacci

Cela a l'air vrai : la suite de Fibonacci est à divisibilité faible (Wikipédia)

En fait tout cela n'est pas propre à la suite de Fibonacci et provient d'un résultat plus général:
On se donne une suite $u$ telle que $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ avec $b\in\left\{ -1;1\right\} $, $a$ entier relatif quelconque, $u_{0}=0$, et $u_{1}=1$. Alors on a pour tous naturels $m$ et $n$ :

\[
u_{m\wedge n}=u_{m}\wedge u_{n}
\]


Quelques notations:

$\chi=X^{2}-aX-b\in\mathbb{Z}\left[X\right]$
$A=\frac{\mathbb{Z}\left[X\right]}{\left(\chi\right)}$ et $Q\mapsto\overline{Q}$ la surjection canonique.
$\tau$ l'opérateur de $M=Z^{\mathbb{N}}$ de translation à droite.
$u\in\ker\chi\left(\tau\right)$ (autrement dit, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$)
On définit (sans ambiguïté) $g\left(\overline{Q}\right)=Q\left(\tau\right)\left(u\right)$. $g$ est un morphisme de $\mathbb{Z}$ modules de $A$ dans $M$.

Preuve de la propriété:

On remarque que $\overline{X}\left(b\overline{X}-ab\right)=b\left(a\overline{X}+b\right)-ab\overline{X}=b^{2}=1$. Donc $\overline{X}$ est inversible dans $A$. De plus, pour $k\in\mathbb{N},$ $\overline{X}^{k}=a_{k}\overline{X}+b_{k}$. On applique $g$ à chaque membre puis on évalue en 0 et, avec $u_{0}=0$, $u_{1}=1$, on en déduit que $a_{k}=u_{k}$ et donc $\overline{X}^{k}=u_{k}\overline{X}+b_{k}$. On a donc modulo $u_{m}\wedge u_{n}$ (en écrivant $m\wedge n$ sous la forme $cm+nd$)
:
\[
\overline{X}^{m\wedge n}=\left(\overline{X}^{m}\right)^{c}\left(\overline{X}^{n}\right)^{d}=b_{m}^{c}b_{n}^{d}
\]
donc $u_{m\wedge n}=b_{m}^{c}b_{n}^{d}u_{0}=0$ modulo $u_{m}\wedge u_{n}$. Donc $u_{m}\wedge u_{n}$ divise $u_{m\wedge n}$. D'autre part, modulo $u_{m\wedge n},$ on a $\overline{X}^{m}=\left(\overline{X}^{m\wedge n}\right)^{\frac{m}{m\wedge n}}=b_{m\wedge n}^{\frac{m}{m\wedge n}}$ et donc $u_{m}=0$ modulo $u_{m\wedge n}$ (de même que $u_{n}$). Ainsi, $u_{m\wedge n}$ divise $u_{m}\wedge u_{n}$.

J'ai une autre démonstration peut-être plus "élémentaire" de la propriété:
pour une suite $u$ telle que $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ avec $b\in\{-1;1\}$, $a$ entier relatif quelconque, $u_0=0$, et $u_1=1$ on a pour tous naturels $m$ et $n$ $$u_{m\wedge n}=u_m\wedge u_n$$

1) $u_{n+2}\wedge u_{n+1}=bu_n\wedge u_{n+1}=u_n\wedge u_{n+1}$ d'où $u_n\wedge u_{n+1}=u_0\wedge u_1=1$.

2) $u_{n+m}=u_{n+1}u_m+bu_nu_{m-1}$ car c'est vrai pour $m=1$ et $m=2$ et les suites $(u_{n+m})_m$, $(u_m)$ et $(u_{m-1})$ vérifient la même récurrence linéaire d'ordre 2.

3) $u_{n+m}\wedge u_n=u_{n+1}u_m\wedge u_n=u_m\wedge u_n$ puisque $u_n\wedge u_{n+1}=1$;
Par récurrence $u_{r+qn}\wedge u_n=u_r\wedge u_n$ d'où en appliquant l'algorithme d'Euclide au couple $(m,n)$: $u_m\wedge u_n=u_{m\wedge n}$.