Somme arithmétique de restes euclidiens

Bonjour,

On note $(r) _d$ le reste de la division euclidienne de $r$ par $d$.
On considère deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux.
J'avais soulevé cette question il y a environ un an. Nous nous intéressons ici à la somme : $$

\sum_{k=0} ^{m} (pk) _q

$$ Si il semble presque impossible d'établir une relation close de manière générale, je vous propose d'en établir deux pour les cas particuliers où $(q) _p=1$ et $(q) _p=p-1$

À titre d'exemple, si $q=19$ les relations seront valables respectivement pour $p=2,3,6,9,18$ et $p=2,4,5,10$

Al-Kashi