Retrouver l'ordre ...
dans Arithmétique
Bonsoir @ tous.
J'ai établi, avec mon petit tableur, la liste ordonnée des restes de la division des 30 premiers multiples d'un entier naturel A (multiples de 1 à 30) par un autre entier naturel B, A < B. Ensuite j'ai trié par ordre croissant les nombres de cette liste pour obtenir :
10
43
76
86
119
152
185
195
228
261
271
304
337
370
380
413
446
456
479
489
522
555
565
598
631
664
674
707
740
750
À vous de rétablir la liste initiale. Sans l'aide de l'informatique, s'il vous plaît.
Ce n'est pas long si on s'y prend bien ...
J'ai établi, avec mon petit tableur, la liste ordonnée des restes de la division des 30 premiers multiples d'un entier naturel A (multiples de 1 à 30) par un autre entier naturel B, A < B. Ensuite j'ai trié par ordre croissant les nombres de cette liste pour obtenir :
10
43
76
86
119
152
185
195
228
261
271
304
337
370
380
413
446
456
479
489
522
555
565
598
631
664
674
707
740
750
À vous de rétablir la liste initiale. Sans l'aide de l'informatique, s'il vous plaît.
Ce n'est pas long si on s'y prend bien ...
Réponses
-
Bonjour puis-je
pourquoi $30$? On trouve quoi? Sans $A$ et $B$? -
Merci
Trouver une chaine tel que la difference $\mod B$ de deux nombres consecutifs est constante $=A$
L'un multiple de $33$ l'autre de $10$ et $A>750$
Cordialement. -
La liste est les restes de $iB$ par $A$ non, $i $ de $1$ à $30$ les restes $<A$ ?
$iB=\alpha A +r_i $ -
Non non c'est le contraire. Enfin ce n'est pas bien grave.
-
$A=76$...
-
N'y a-t-il pas une erreur dans ta liste, c'est 532 au lieu de 522, non ?
-
Non il y aurait $ 76 \times 7 =532$ dans la liste.
-
$B=783$
-
Même avec ça mes résultats sont incorrects, on est reparti... X:-(
-
La liste est un copier / coller de tableur, il n'y a pas d'erreur.
-
Je précise que cette liste n'a pas été spécialement choisie pour que le problème soit soluble. En partant de 2 nombres A < B premiers entre eux, et en choisissant un nombre de restes < B, on retrouvera toujours la liste d'avant le tri.
-
Je peux venir jouer aussi ?
Ma solution, cryptée :
$5\times A^{2}+3\times B^{2}=2237999$
Oh, zut ! Les chiffres se sont rangés tout seuls par ordre croissant !
:-) -
Salut Gil Bill,
Ce ne sont pas mes chiffres, se pourrait-il qu'il n'y ait pas unicité de la solution ? -
Bonjour, nodgim,
Dans ce problème, j'ai répertorié quatorze A possibles. Et pour chaque A, il y a au moins un B possible. Je dois avouer que j'ai stoppé mes recherches dès l'instant où j'ai trouvé un couple (A,B) produisant les trente nombres recherchés. Ce serait intéressant d'explorer toutes les possibilités. Le souci, c'est que j'ai un week-end chargé. Je vais faire mon possible.
En même temps, sur ce site, je remarque qu'il y a moyen d'envoyer des messages privés. Je vais essayer de t'envoyer ma solution comme cela. -
Pour pouvoir lire ses messages privés, il semble bien qu'il faille cliquer sur "messages privés", en haut de la page.
-
Peux-tu me dire si tu as reçu mon message privé ? Merci.
-
Il a peut-être une autre activité en dehors du forum ce monsieur ?
-
@ Crapul :
Que nodgim me réponde maintenant ou plus tard importe peu.
Je souhaite juste savoir si je suis capable d’envoyer des messages privés. -
Salut Gilbill,
mon message d'il y a 1/4 d'heure n'est pas passé....
Je disais que j'avais bien reçu ton MP. Je disais également que j'étais étonné que tu aies pu trouver plusieurs solutions. Peux tu donner un autre couple (A,B) ?
Je précise que dans l'énoncé, il est dit que A < B , A fait donc partie de la liste fournie.
En tout état de cause, j'ai dit également dans l'énoncé que je voulais une solution manuelle, c'est à dire sans essais ni échec. Cela dit, rien n'empêche bien entendu de trouver la solution par l'informatique, mais ce n'est pas sûr que ça puisse aider à comprendre. -
Si, si, nodgim, ton MP est bien passé : Je l’ai reçu.
J’ai vérifié et, d’après ma méthode, il n’y aurait pas d’autre solution à ce problème-ci que celle que nous trouvons tous les deux.
A propos de ma méthode, je précise qu’il ne s’agit pas d’une méthode par simple essai et erreur. Ça prendrait un temps fou de chercher au hasard. Si on excepte le temps que j’ai mis pour retranscrire par écrit la liste des trente nombres et pour y trouver ce que je cherche (et que je garde secret), ce problème ne m’a pas pris dix minutes (avec une calculatrice capable de décomposer en facteurs premiers. C’est plus facile). -
@ Gil Bill :
Je parlais d'un message raté ici même, pas sur MP.
Eh bien, si tu as besoin de décomposer des nombres en facteurs premiers, c'est que tu procèdes par une manière différente de la mienne.
Tu peux garder par devers toi ta méthode pour l'instant, mais j'espère que d'ici un temps, tu la dévoileras. Rien ne presse, laissons chercher ceux qui y réfléchissent encore. Ton indication est d'ailleurs une piste que je vais peut être regarder, histoire de comparer l'efficacité des méthodes..... -
Nogdim et GilBill je suis curieux de savoir comment vous avez procédé pour répondre au problème.
J'ai tenté mais je ne vois vraiment pas comment procéder.
Al-Kashi -
La réponse est assez courte, elle tient dans quelques règles élémentaires.
Si k A - j A = x [ B] alors ( k - j ) A = x [ B]. Autrement dit x, intervalle entre 2 multiples, apparaît d'abord (k-j < k et j ) comme un nombre de la liste des multiples. Comme la liste ne fait pas apparaître B, on n'a pas connaissance des x négatifs, en revanche on sait, d'après ce qui vient d'être dit, qu'un intervalle entre 2 nombres de la liste qui n'y apparaît pas est un intervalle négatif, et on en déduit immédiatement B comme somme de cet intervalle (valeur absolue) et le plus grand nombre de la liste.
Les multiples successifs engendrent des intervalles nouveaux décroissants (évident).
Les nouveaux intervalles marchent par paire, il y en a un positif pour un négatif.
Sur la base de ces règles simples, on peut procéder ainsi.
Lister les écarts entre les nombres voisins pour exhiber le plus petit écart absolu " e ". Si celui-ci est dans la liste, alors on peut rayer tous les nombres n + e, y compris " e ". Sinon, on fait apparaître B et on raye les nombres n - e. Et on recommence la routine jusqu'à ce qu'il ne reste que A et B. -
Bonjour à tous
D'accord Nodgim pour ta méthode générale.
Dans le cas particulier que tu proposes, on a de la chance: on voit que $750+0=740+10=707+43=......$, bref que si $a$ est dans la liste $750-a$ l'est aussi.... à un canard boiteux près: $456$. $750$ est donc l'avant dernier nombre de ta liste cachée et $456$ le dernier.$A$ est donc le suivant de $456$ dans la liste croissante, à savoir $479$. On a $750+479-B=456$, soit $B=773$.
Amicalement
Paul -
Bonsoir Depasse.
Oui, j'avais vu ce raccourci. Comme la liste a été établie au hasard, je ne l'ai pas changée, ça donnait une chance supplémentaire pour les clairvoyants.
Cette petite énigme avait pour but de mettre en lumière quelques propriétés des restes successifs des multiples d'un nombre modulo un autre. Je ne l'ai pas précisé, mais pour être sûr de retrouver A et B, il faut que, si mA est le plus grand multiple de A :................ B < mA < AB. Si mA < B, on connait A mais pas B, si mA >= AB, on connait B mais pas A.
J'ai tenté de chercher la méthode de Gil Bill, qui utilise la décomposition en facteurs premiers des nombres de la liste, pour l'instant je ne vois pas. -
Merci pour vos réponses. On attend GilBill.
Al-Kashi -
Bonsoir,
Je suis malade mais voici quand même les grandes lignes de ma méthode :
1) Dans la liste mise en ordre croissant, je commence par trouver A.
2) Dans cette même liste mise en ordre, je trouve ensuite un second nombre, que j'appelle A' et qui a ceci d'intéressant que je peux déterminer quelle position il occupe dans la liste initiale, c'est-à-dire la liste qui n'a pas encore été mise en ordre croissant. A noter que A' doit obligatoirement avoir subi l'action "réductrice" de B.
3) connaissant A, qui occupe la position de rang 1 dans la liste initiale, et connaissant A' qui occupe la position de rang $n$ dans la liste initiale, je trouve B en résolvant la congruence :
$nA\equiv A'\pmod{B}$,
c'est-à-dire :
$nA-A'\equiv 0\pmod{B}$,
où il devient clair que B est un diviseur de $nA-A'$ (C'est ici qu'intervient la décomposition en facteurs premiers, mais j'ai trouvé sur la toile "Calculis", un logiciel capable de calculer tous les diviseurs d'un nombre donné).
Cela dit, nodgim, ta méthode (que je ne comprends pas, tu n'en seras pas surpris) semble bien plus expéditive que la mienne. -
A la relecture de mon dernier message, je le trouve encore plus énigmatique que si je n'avais rien écrit du tout. Mais je ne suis pas en état de faire mieux. Pardon.
-
Une dernière chose, que j'avais oublié d'écrire :
Mon calcul de B est encore facilité par le fait que je suis en mesure de déterminer dans quelle fourchette de nombres $p$ et $q$ je dois chercher B : $p < B < q$. -
$p$ étant le dernier nombre de la liste mise en ordre croissant et $q$ étant le premier multiple de A à avoir subi l'action "réductrice" de B...mais avant d'avoir subi cette action réductrice. Je me demande si je suis compréhensible.
-
Gilbill, tu ne nous dis pas comment tu trouves A.
-
@ Gilbill, en application de la méthode indiquée, tu vas comprendre et te rendre compte que ce n'est pas aussi expéditif que cela..... :
Liste complétée par les écarts
10 10
43 33
76 33
86 10
119 33
152 33
185 33
195 10
228 33
261 33
271 10
304 33
337 33
370 33
380 10
413 33
446 33
456 10
479 23
489 10
522 33
555 33
565 10
598 33
631 33
664 33
674 10
707 33
740 33
750 10
Ecart le plus petit : 10. Le 10 étant dans la liste, c'est un écart +, on supprime donc les nombres n+10, soit 10, 43, 86,.....
Après ce 1er filtre, reste :
43 43
76 33
119 43
152 33
185 33
228 43
261 33
304 43
337 33
370 33
413 43
446 33
479 33
522 43
555 33
598 43
631 33
664 33
707 43
740 33
Ecart le plus petit : 33. Ce 33 n'est pas dans la liste c'est donc un écart -, on en déduit B = 740 + 33 = 773 (ainsi 740 = -33 [773] )
On place alors B et on ôte les nombres n - 33 : 740, 707, 631....
Après ce 2 ème filtre, reste :
76 76
185 109
261 76
370 109
479 109
555 76
664 109
773 109
Ecart le plus petit 76. Ce 76 est dans la liste, c'est un écart +, on ôte les nombres n + 76, soit : 76,261....
Après ce 3ème filtre, reste :
185 185
370 185
479 109
664 185
773 109
Ecart le plus petit : 109. Ce 109 n'est pas dans la liste, c'est un écart -, on ôte les nombres n - 109, soit 664 et 370.
Après ce 4ème filtre, reste :
185 185
479 294
773 294
Ecart le plus petit : 185. Ce 185 est dans la liste, c'est un écart +, on ôte le nombre 0 + 185 = 185.
Reste alors 479 et 773, soit A et B. -
Merci, nodgim. J’ai compris comment tu procèdes. Je trouve cela astucieux. Il me reste juste à comprendre pourquoi ça marche. Mais ce sera pour un prochain jour. Maintenant, je retourne me coucher.
-
Après un long moment de réflexion, je sors le grand jeu...
Commençons par formaliser cette histoire.
On note $U_k=(ak) _b$ la suite de nombres donnés où $k$ varie de $1$ à $30$
On note $m$ le nombre de termes de la suite strictement supérieurs à $U_{30}$. Notons que ces deux valeurs sont dépendantes l'une de l'autre.
On a alors que:
$2\sum_{k=1}^{30}U_k =(30a)_b+\sum_{k=1}^{30}(ak) _b+(30a-ak) _b=(30a)_b+(30-m)(30a)_b+m(b+(30a)_b)$
Soit alors $\sum_{k=1}^{30}U_k=\dfrac{31(30a)_b+mb} {2}$
On élimine facilement le cas $m=0$.
On a alors $m\ne0$ et donc: $b=\dfrac{2\sum_{k=1}^{30}U_k-31(30a)_b}{m}$
Et voilà le travail:
Al-kashi -
Petite question à AD ou à tout éclairé en Latex.
Je ne comprends toujours pas pourquoi mes indices sont devant la somme et non pas en dessous et au dessus.
Al-Kashi -
Al Kashi :
Je n'arrive pas à interpréter le :.............(30a-ak)b. -
Ta suite de nombres peut s'écrire $U_k=(ak)_b$ où l'indice $k$ varie de $1$ à $30$.
Elle peut donc aussi s'écrire $U_k=(30a-ak)_b$ toujours avec $k$ variant de $1$ à $30$.
Al-Kashi -
$\sum \limits_{bla}^{bli}$
Clic droit, show math as -
Merci Crapul.
-
Je t'en prie
-
Al-Kashi écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1736916,1740194#msg-1740194
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je l'ai bien compris, mais dans ta formule, quel k de (30a-ak)b dois-je choisir ?
Ou alors tu as voulu dire la somme de ces nombres ? -
Oui les deux termes sont indexés par la même somme.
Al-Kashi -
Il faudrait que tu étayes un peu, parce que là, je ne comprends strictement rien à ce que tu as fait. Et ce n'est pas faute de faire l'effort.
Désolé. -
Je calcule deux fois la somme.
Il faut ensuite remarquer que la somme $(ak) _b+(30a-ak)_b$ vaut soit $(30a)_b$ si $(ak) _b\leq(30a)_b$ sinon $(30a)_b+b$.
On obtient ainsi la formule proposée pour $b$. Le tableur fait le reste pour gagner un peu de temps.
Al-Kashi
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