Nombre premier et fraction rationnelle

Al-Kashi
Al-Kashi
dans Arithmétique
On considère un nombre premier $p$. Soient $a\ne1, b\ne1, c$ et $d$ des entiers naturels non nuls tels que $p=ab+cd$

Démontrer que la suite $U_{k} =\dfrac{d-ka} {b+kc}$ ne contient aucun entier.

Al-Kashi

Réponses

  • melpomène
    melpomène
    On a $(b+kc)a+(d-ka)c=ab+cd=p=(b+kc)(a+U_k c)$

    Si $U_k$ est entier alors $b+kc=1$ ou $a+U_kc=1$. Comme $b\geq 2$ la première égalité est impossible.
    On a donc $a+U_kc=1$ et $b+kc=p$.

    A suivre...
  • nodgim
    nodgim
    Grillé, mais je donne tout de même ma variante :

    Cette fraction N / P est telle que p = N + P

    N est décroissant avec k, on peut l'écrire N = p - x donc P = x

    il faut p-x = j x pour avoir un entier.
    p = (j+1) x mais évident que x <> 1 donc seule solution x = p mais alors p-x = 0 donc d = ka, et comme a <>1, a I d, mais alors a I ab+cd , donc a I p, impossible.
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Je ne comprends pas ta première ligne Nogdim, si tu appelles la fraction $N/P$, $p$ n'est pas égal à $N+P$

    Al-Kashi
  • nodgim
    nodgim
    Ah oui, j'ai démarré sur une grossière erreur là......
  • nodgim
    nodgim
    Donc on suppose cette fraction = N/D

    On a l'égalité c N + a D = p

    Pour avoir N/D entier, il faut N = j D, j >= 1

    c N + a D = c j D + a D = D ( c j + a ) = p

    Or D > 1 ( comme Uk est une suite, k supposé entier naturel ) et (c j+ a) également > 1.

    Or comme " p " n'est décomposable que d'une seule façon p = 1 * p, N ne peut être un multiple de D.

    J'espère n'avoir rien oublié.....
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Allons plus loin avec $k$ entier relatif.

    Al-Kashi
  • nodgim
    nodgim
    Je me doutais bien que tu allais demander ça.....
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    (tu)
  • nodgim
    nodgim
    Avec k = -1 par exemple.

    N = d + a et D = b-c

    Inutile de préciser que N et D n'ont pas de facteurs premiers communs, puisque cN + aD = p, et que cet éventuel facteur premier q diviserait p.

    En revanche, avec b - c = 1 on a des solutions.

    Par exemple a = 3, d = 5 :

    p = 3 ( c + 1 ) + 5 c = 8 c + 3.

    On sait qu'en faisant varier c , on a même une infinité de nombres premiers dans 8 c + 3.
  • jandri
    jandri
    Pour $(a,b,c,d)=(2,2,1,1)$ on a $p=5$ et $U_{-1}=3$.
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Vous avez raison j'avais une coquille dans mes calculs. Il faut rajouter d'autres hypothèses pour qu'il n'y ait plus d'entiers.

    Al-Kashi
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