Exercice courbes elliptiques
Bbonsoir à tous :-D
Voilà je suis un cours intitulé "arithmétique des courbes elliptiques" et je bloque sur un exo du TD ( en pièce jointe )
Je vous donne mes traces de recherche (sûrement fausses).
1) Si x1=x2 alors on a p1 = p2 ou p1 = -p2
Dans le cas où p1 = -p2 alors on a directement p3 = O.
Mais dans le cas d'égalité, comment montrer du coup que p3 = -2 p1 = O ?
2) Si x1 différent de x2, alors on a l'équation de la droite (p1 p2) qui est y = ax+b
avec a = (y2-y1)/(x2-x1) et b = y1 - a*x1.
On sait que p3 est le point d'intersection entre C et la droite (p1 p2)
Du coup reste juste à résoudre le ssytème pour trouver x3 et y3 non ?
Mmais je ne trouve pas la formule indiquée.
Merci d'avance pour le(s) coup(s) de pouce (:P)
Voilà je suis un cours intitulé "arithmétique des courbes elliptiques" et je bloque sur un exo du TD ( en pièce jointe )
Je vous donne mes traces de recherche (sûrement fausses).
1) Si x1=x2 alors on a p1 = p2 ou p1 = -p2
Dans le cas où p1 = -p2 alors on a directement p3 = O.
Mais dans le cas d'égalité, comment montrer du coup que p3 = -2 p1 = O ?
2) Si x1 différent de x2, alors on a l'équation de la droite (p1 p2) qui est y = ax+b
avec a = (y2-y1)/(x2-x1) et b = y1 - a*x1.
On sait que p3 est le point d'intersection entre C et la droite (p1 p2)
Du coup reste juste à résoudre le ssytème pour trouver x3 et y3 non ?
Mmais je ne trouve pas la formule indiquée.
Merci d'avance pour le(s) coup(s) de pouce (:P)
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Réponses
Pour 2) oui c'est ça !
J'ai pu finir la 1ère partie de l'exo.
Je m'attaque à la suite. (ci-joint en photo) questions 4) et 5)
J'ai quelques questions avant, quand on considère la courbe cuspidale dans P^2(k) d'équation y = 4x^3
En fait on se place dans une carte affine ? Puisque il n'y a que deux coordonnées x et y. On se place dans la carte Z non nul c'est ca ?
Et du coup on poserait x=X/Z et y=Y/Z ?
C'est le cas aussi de toutes les équations de Weierstrass de courbes elliptiques ? Il n'y a toujours que 2 coordonnées dans l'équation, x et y .
Dans le cas de ton équation $y = 4x^3$, c'est seulement une portion de la vraie courbe projective d'équation $YZ^2 = 4X^3 \subset \mathbb P^2(k)$. Pour les équations de Weierstrass c'est la même : en caractéristique différente de $2$ et $3$, l'équation $y^2=x^3+ax+b$ (à discriminant non nul) définit la partie affine de la courbe elliptique d'équation $$Y^2Z = X^3+aXZ^2+bZ^3.$$ On retrouve immédiatement que le seul point de la courbe qui se trouve sur la droite à l'infini est $$O = [0:1:0].$$
Juste une petite dernière question, comment trouver le point à l'infini O ?
Le reste c'est les points $\{ [x:y:0] \in P^3_k, h(x,y,0) = 0\}$, qu'on peut visualiser comme des points avec $x $ ou $y = \infty$ et $z=1$.
Pour $h$ l'homogénéisation d'une équation de Weierstrass (qui n'a qu'un terme de degré $\ge 3$) trouver les zéros avec $z=0$ n'est pas difficile.
J'avance progressivement !
J'ai encore quelques point obscurs. Je me permets de vous solliciter encore (:D
Dans l'exemple en PJ, je vois bien que dans div(x-e_i) les point P_i et P_infini vont intervenir.
Mais je ne vois pas pourquoi P_i est d'ordre 2.
Si c'est le cas après on en déduit immédiatement que l'ordre de P_infini est -2 car on deg(div(x-e_i)) doit valoir 0.
Pour div(y) c'est clair par contre (:D
S'il y a une méthode pour calculer ord_P(f) avec f dans k(E) je suis preneur (avec E courbe elliptique)
Tu peux dire que pour presque tous les $a$, $E$ est non singulière et $\partial_x f \ne 0$ (*) aux points avec $x=a$, donc \les zéros de $x-a$ sont simples.
[small](*) les points où les dérivées partielles de $y^2-(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$ ne sont pas toutes nulles ce qui permet de facilement faire une carte locale de la courbe. en recollant ces cartes on fait de $E/ \{ $ points singuliers $s_j \}$ une surface de Riemann. [/small]
Une fois que tu as une expression pour $div(x-a)$ valable pour presque tous les $a$, par continuité ça reste valable pour tous les $a$.