Partition d'un nombre entier

Oui c'est assez complexe et en général utilise la méthode du cercle. On peut faire quelques subterfuges pour obtenir le résultat sans utiliser d'analyse complexe. Par exemple Bernard Randé a écrit un article dessus dans le numéro 127-1 de la RMS (daté d'octobre 2016) en rendant la démonstration accessible à des étudiants (motivés) de Maths Spé.

Tout est basé sur l'identité suivante, exercice amusant, vérifiée par la fonction génératrice du nombre de partitions : pour $|z| < 1$ on a $$\prod_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{1-z^k} = \sum_{n=0}^{+\infty} p(n) z^n.$$

Pour une référence complète et détaillée, voir :

H. Rademacher, Topics in Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1973.

L'auteur connaît très bien ce sujet, pour lequel le point de départ de toute démonstration est la série génératrice de $p(n)$ rappelée ci-dessus par Poirot.