Sommes d'Euler

Voici une estimation plus précise, si tu en as besoin.

Proposition. Pour tout $x \geqslant 1$
$$\left| \sum_{n \leqslant x} \frac{\varphi(n)}{n} - \frac{x}{\zeta(2)} \right| < \frac{\log x}{\zeta(2)} + 2 \left( \frac{1}{\zeta(2)} + \frac{1}{25} \right) + x^{-1/2}.$$

Preuve. À l'aide de la convolution usuelle $\varphi = \textrm{id} \star \mu$, il vient
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{\varphi(n)}{n} - \frac{x}{\zeta(2)} = -x \sum_{d > x} \frac{\mu(d)}{d^2} - \sum_{d \leqslant x} \frac{\mu(d)}{d} \left \{ \frac{x}{d} \right \}$$
où $\{t\}$ désigne la partie fractionnaire du réel $t$. Au cours de travaux antérieurs, j'ai pu montrer, sans réelle difficulté, que
$$\left| \sum_{d > x} \frac{\mu(d)}{d^2} \right| < \frac{2}{25x} + \frac{1}{x^{3/2}} \quad \left( x \geqslant 1 \right)$$
et El Marraki montre en 1995 que
$$\sum_{d \leqslant x} \frac{\mu(d)^2}{d} < \frac{1}{\zeta(2)} \left( \log x + 2 \right) \quad \left( x \geqslant 1 \right)$$
(et même mieux : le $2$ peut être remplacé par $1,918$ si ça t'amuse). On reporte ces deux estimations ci-dessus, ce qui donne le résultat.

Remarque. Cette estimation est meilleure que la précédente dès que $x \geqslant 6,01615$.

$\sum_{d | k} \phi(d) = k, \phi(k) = \sum_{d | k} \mu(d) \frac{k}{d}, \frac{\phi(k)}{k} = \sum_{d | k} \frac{\mu(d)}{d}$

donc $$\sum_{k=1}^n \frac{\phi(k)}{k} = \sum_{d=1}^n \frac{\mu(d)}{d} \lfloor n/d \rfloor = \sum_{d=1}^n \frac{\mu(d)}{d} ( n/d+O(1)) \\= n\sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{d^2} + O(n\sum_{d=n+1}^\infty \frac{1}{d^2}) + O(\sum_{d=1}^n \frac{1}{d}) = n \frac{6}{\pi^2}+O(1 + \log (n+1))$$ (les $O$-constantes sont $1$)