Sommes d'Euler
dans Arithmétique
Amis théoricien du nombre, Bonsoir. Vous connaissez tous l'estimation :$$\sum_{k=1}^n\dfrac {\phi(k)} k = \dfrac 6 {\pi^2} n + \mathit O (\log(n)^{2/3}\log \log(n)^{4/3})$$ où $\phi$ est la fonction indicatrice d'Euler Cette estimation fût donnée par Walfisz en 1963. Cette formule veut dire : $$\exists M\in \R_+^*,\ n_0\in\N^*,\ \forall n\in \N^*,\ n\ge n_0, \Big| \sum_{k=1}^n\dfrac {\phi(k)} k - \dfrac 6 {\pi^2} n \Big| \le M(\log(n)^{2/3}\log \log(n)^{4/3}).
$$ Quelqu'un connaît-il une valeur effective de $M$ ? Si l'on connaît des valeurs effectives, quelle est la plus petite connue à ce jour ?
Cordialement,
zephir
$$ Quelqu'un connaît-il une valeur effective de $M$ ? Si l'on connaît des valeurs effectives, quelle est la plus petite connue à ce jour ?
Cordialement,
zephir
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Réponses
Un très bon site concernant ces estimations explicites, que je conseille à tout le monde intéressé par ce sujet, est http://iml.univ-mrs.fr/~ramare/TME-EMT/accueil.html (il y a quand même H. Helfgott dans les contributeurs...).
En revanche, l'exposant $\frac{4}{3}$ du $\log \log $ a été récemment amélioré en $\frac{1}{3}$ (Voir [1], [2]).
Références.
[1] H. Q. Liu, On Euler’s function, Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 146 (2016), 769–775.
[2] Y. Suzuki, On error term estimates à la Walfisz for mean values of arithmetic functions, preprint 32pp., 2018, https://arxiv.org/pdf/1811.02556.pdf.
L'inégalité : $$\Big| \sum_{k=1}^n \dfrac {\phi(k)} k - \dfrac {6n}{\pi^2}\Big| \le 1 + \log(n)$$ suffit à mon bonheur.
Démontrer cette inégalité. C'est un bon exercice pas très difficile.
[En $\LaTeX$, le signe somme s'écrit avec la commande \sum et pas \Sigma. ;-) AD]
Edit : dans le majorant, en effet 1 suffit au lieu de 2. J'ai donc remplacé le 2 par 1. Merci noix de totos.
Merci AD pour la leçon de LATEX. On en apprend à tout âge.
Proposition. Pour tout $x \geqslant 1$
$$\left| \sum_{n \leqslant x} \frac{\varphi(n)}{n} - \frac{x}{\zeta(2)} \right| < \frac{\log x}{\zeta(2)} + 2 \left( \frac{1}{\zeta(2)} + \frac{1}{25} \right) + x^{-1/2}.$$
Preuve. À l'aide de la convolution usuelle $\varphi = \textrm{id} \star \mu$, il vient
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{\varphi(n)}{n} - \frac{x}{\zeta(2)} = -x \sum_{d > x} \frac{\mu(d)}{d^2} - \sum_{d \leqslant x} \frac{\mu(d)}{d} \left \{ \frac{x}{d} \right \}$$
où $\{t\}$ désigne la partie fractionnaire du réel $t$. Au cours de travaux antérieurs, j'ai pu montrer, sans réelle difficulté, que
$$\left| \sum_{d > x} \frac{\mu(d)}{d^2} \right| < \frac{2}{25x} + \frac{1}{x^{3/2}} \quad \left( x \geqslant 1 \right)$$
et El Marraki montre en 1995 que
$$\sum_{d \leqslant x} \frac{\mu(d)^2}{d} < \frac{1}{\zeta(2)} \left( \log x + 2 \right) \quad \left( x \geqslant 1 \right)$$
(et même mieux : le $2$ peut être remplacé par $1,918$ si ça t'amuse). On reporte ces deux estimations ci-dessus, ce qui donne le résultat.
Remarque. Cette estimation est meilleure que la précédente dès que $x \geqslant 6,01615$.
Quelle(s) propriété(s), de l'indicatrice, a-t-on et capitalise-t-on par ici ?(:D
Au fait, que devient le Zephir avec le PhD et les colles M' de Ginette ?
donc $$\sum_{k=1}^n \frac{\phi(k)}{k} = \sum_{d=1}^n \frac{\mu(d)}{d} \lfloor n/d \rfloor = \sum_{d=1}^n \frac{\mu(d)}{d} ( n/d+O(1)) \\= n\sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{d^2} + O(n\sum_{d=n+1}^\infty \frac{1}{d^2}) + O(\sum_{d=1}^n \frac{1}{d}) = n \frac{6}{\pi^2}+O(1 + \log (n+1))$$ (les $O$-constantes sont $1$)