Le sous-corps réel d'un corps cyclotomique

Monsieur reuns , Voilà une autre plus simple preuve qu'on a fait.


Monstrons le résultat pour $\zeta_{16}$. On a \

$\mathfrak p$ est inerte dans $K(\alpha)$ si et seulement si
$\left( \frac{\alpha}{\mathfrak p} \right)=-1.$. Come $\mathfrak p$ est inert dans $\mathbb Q(\sqrt 2) $, alors
$\left( \frac{\alpha}{\mathfrak p} \right)=\left( \frac{N(\alpha)}{\mathfrak p} \right)=\left( \frac{2}{p} \right)$. Donc \

$p$ est inerte dans $L_4^+$ si et seulement si $p$ est inerte dans $\mathbb Q({\sqrt 2}).$


De même on montre le résultat pour $L_{n+1}=\mathbb{Q}(\zeta_{2^{n+1}})$. Il est connu
que(voir l article de Lemmermeye ''Ideal class groups of cyclotomic number fields I'' ) $\pi_2=\sqrt 2$, $\pi_3=2+\sqrt{2}$, ... $\pi_n=2+\sqrt{\pi_{n-1}}$. On a $L_{n+1}^+=\mathbb{Q}(\sqrt{\pi_n})$, Par récurrence de par le même idée que précédemment on montre que $p$ est inert dans $L_{n+1}^+$.

Merci