Le sous-corps réel d'un corps cyclotomique
dans Arithmétique
Bonjour
Est-ce que si un rationelle est inerte dans le sous-corps réel maximal de $\mathbb Q(\zeta_8)$ alors il est inerte dans $Q_n$ le sous-corps réel maximal de $\mathbb Q(\zeta_{2^{n+1}})$.
Comment le prouver ?
Merci.
Est-ce que si un rationelle est inerte dans le sous-corps réel maximal de $\mathbb Q(\zeta_8)$ alors il est inerte dans $Q_n$ le sous-corps réel maximal de $\mathbb Q(\zeta_{2^{n+1}})$.
Comment le prouver ?
Merci.
Réponses
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Euh c'est quoi $\mathbb Q(2^{n+1})$ ?
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pardon Poirot j ai rectifié
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Qu'est-ce qui te fait croire que c'est vrai ?
Si $(p)$ est premier dans $\mathbb{Z}[\zeta_{m}+\zeta_{m}^{-1}]$ alors l'ordre de $p \bmod m$ est $\phi(m)$ ou $\phi(m)/2$ -
Mon ami me dit que ça existe dans la littérature mais il ne se rappelle pas une référence contenant ce résultat.
Moi aussi je suis passé sur plusieurs références et je ne l''ai pas trouvé.
Croyez-vous que ce n'est pas vrai ?? -
Tu sais lier l'ordre de $p \bmod 2^k$ à la décomposition de $(p)$ dans $\mathbb{Z}[\zeta_{2^k}]$ ?
Tu sais calculer $(a+b 2^k)^{2^m} \bmod 2^{k+1}$ en fonction de $a^{2^m},a^{2^m -1} \bmod 2^{k+1}$ ?
Le groupe de Galois de $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k})$ c'est $\mathbb{Z}/(2^k)^\times$
Le groupe de Galois de $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k}+\zeta_{2^k}^{-1})$ c'est $\mathbb{Z}/(2^k)^\times / \{\pm 1\}$
Quel est l'ordre de $p$ dans $\mathbb{Z}/(2^k)^\times / \{\pm 1\}$ ?
Donc quel est le groupe de Galois de $\mathbb{F}_p(\zeta_{2^k}+\zeta_{2^k}^{-1})$ ?
Donc $[\mathbb{F}_p(\zeta_{2^k}+\zeta_{2^k}^{-1}): \mathbb{F}_p] = ?$ -
Merci monsieur Reus j'ai arrivé a faire une preuve c'est presque similaire a votre idée
mais c'est long et ennuyant de le taper ici. -
Monsieur reuns , Voilà une autre plus simple preuve qu'on a fait.
Monstrons le résultat pour $\zeta_{16}$. On a \
$\mathfrak p$ est inerte dans $K(\alpha)$ si et seulement si
$\left( \frac{\alpha}{\mathfrak p} \right)=-1.$. Come $\mathfrak p$ est inert dans $\mathbb Q(\sqrt 2) $, alors
$\left( \frac{\alpha}{\mathfrak p} \right)=\left( \frac{N(\alpha)}{\mathfrak p} \right)=\left( \frac{2}{p} \right)$. Donc \
$p$ est inerte dans $L_4^+$ si et seulement si $p$ est inerte dans $\mathbb Q({\sqrt 2}).$
De même on montre le résultat pour $L_{n+1}=\mathbb{Q}(\zeta_{2^{n+1}})$. Il est connu
que(voir l article de Lemmermeye ''Ideal class groups of cyclotomic number fields I'' ) $\pi_2=\sqrt 2$, $\pi_3=2+\sqrt{2}$, ... $\pi_n=2+\sqrt{\pi_{n-1}}$. On a $L_{n+1}^+=\mathbb{Q}(\sqrt{\pi_n})$, Par récurrence de par le même idée que précédemment on montre que $p$ est inert dans $L_{n+1}^+$.
Merci
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