Inverse d'une fonction multiplicative
dans Arithmétique
Bonjour à toutes et à tous,
Soit $f$ une fonction multiplicative. A partir de la formule $f \ast f^{-1}(p^d)=0$ pour tout $d \geq 1$, je voulais savoir si on connaissait une formule magique qui donne $f^{-1}(p^d)$ en fonction de $f(p^d), f(p^{d-1}),...,f(p)$. J'ai essayé... c'est ignoble !
Deux petits exemples au passage^^ : $f^{-1}(p)=-f(p)$, $f^{-1}(p^2)=f^2(p)-f(p^2)$
Merci !
Soit $f$ une fonction multiplicative. A partir de la formule $f \ast f^{-1}(p^d)=0$ pour tout $d \geq 1$, je voulais savoir si on connaissait une formule magique qui donne $f^{-1}(p^d)$ en fonction de $f(p^d), f(p^{d-1}),...,f(p)$. J'ai essayé... c'est ignoble !
Deux petits exemples au passage^^ : $f^{-1}(p)=-f(p)$, $f^{-1}(p^2)=f^2(p)-f(p^2)$
Merci !
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Réponses
$$f^{-1} (n) = - \frac{1}{f(1)} \sum_{\substack{d \mid n \\ d \ne n}} f^{-1} (d) f(n/d)$$
donne la réponse en théorie.
En pratique, elle n'est jamais utilisée. On préfère utiliser les propriétés classiques de ces inverses, comme par exemple $(f \star g)^{-1} = f^{-1} \star g^{-1}$, ou $f^{-1} = \mu \times f$ dès que $f$ est complètement multiplicative. Avec ces propriétés, on est capable de calculer des inverses de pas mal de fonctions multiplicatives usuelles. Par exemple, $\varphi^{-1} = \left( \textrm{Id} \times \mu \right) \star \mathbf{1}$.
Edit : Merci à LOU16 pour la coquille relevée sur $f^{-1} = \mu \times f$ (que j'avais écrite en $f^{-1} = \mu \star f$).
$\frac{1}{F_p(z)} =\sum_{k=0}^\infty f^{-1}(p^k) z^k$. Il n'y a pas de formule magique pour les dérivées de $1/F_p(z)$ sauf bien sûr quand $F_p(z)$ est une fonction rationnelle (ce qui est presque toujours le cas en théorie analytique des nombres).
Tout comme l'inverse de la convolution multiplicative, l'inverse de la convolution additive a une formule par récurrence : si $u(0) = 1,u(k) = f(p^k),v(k) = f^{-1}(p^k)$ alors $v(0) = 1$ et pour $k \ge 1$ : $$\sum_{m=0}^k u(m) v(k-m)= 0 \implies v(k) = -\sum_{m=1}^k u(m) v(k-m)$$
Si $f(n)$ est multiplicative alors $\sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s} = \prod_p F_p(p^{-s})$ et $\sum_{n=1}^\infty f^{-1}(n) n^{-s} = \prod_p \frac{1}{F_p(p^{-s})}$
Tout ça est évident.
Tout est dit !
Du coup Cidrolin, une idée après tes expérimentations ?
Merci noix de totos pour les conseils.
@reuns : encore une fois, je ne comprends pas le rapport avec ma question^^. Peux-tu le détailler stp?
Tu ne comprends pas comment la convolution multiplicative est le truc qui apparaît dans la multiplication de séries de Dirichlet ?
Comment la convolution additive est le truc qui apparaît dans la multiplication de séries entières ?
Comment l'inverse convolutif apparaît en prenant l'inverse de la série ?
Quand on se restreint aux $p^k$ les séries de Dirichlet sont des séries entières en $p^{-s}$. Cette restriction est compatible avec la convolution et l'inverse. C'est pour ça que dans mon post il n'y a qu'un seul $f^{-1}$
La formule magique pour trouver les coefficients de Taylor d'une fonction rationnelle c'est la décomposition en éléments simples.
Étant donné une fonction multiplicative $f$ et un nombre premier $p$, je considère la série de Bell :
$\displaystyle F_p(X)= \sum _{n=0}^{\infty} f(p^n)X^n$, par exemple si $f=\mu$ on trouve $1-X$, si $f=\varphi$ on trouve $\dfrac{1-X}{1-pX}$.
La série correspondant à $f^{-1}$ est $\, \dfrac 1{\sum _{n=0}^{\infty} f(p^n)X^n}$.
D'après les calculs de wolframalpha ci-dessus, en posant $f(p)=a$, $f(p^2)=b$, $f(p^3)=c$, $\dots$, on trouve :
$f^{-1}(p)=-f(p)$
$f^{-1}(p^2)=f(p)^2-f(p^2)$
$f^{-1}(p^3)=-f(p)^3+2f(p)f(p^2)-f(p^3)$
$f^{-1}(p^4)=f(p)^4-3f(p)^2f(p^2)+2f(p)f(p^3)+f(p^2)^2-f(p^4)$
Les coefficients, sans tenir compte des signes, sont sans doute ceux de A263633.
N'y aurait-il pas un pdf sympa qui explique et approfondit cela svp ?
@Cidrolin : Merci ! Connaît-on leurs noms et une formule (de récurrence je suppose) pour ces nombres ? J'ai tapé "nombre de Bell" sur qwant et ce ne sont pas ceux là qui sont décrits...
Mais le souci c'est qu'en plus des nombres, il y a les signes et les produits des $f^n(p^d)$ ! La seule régularité est que $n+d$ est constant pour chaque ligne ce qui n'est pas mal, mais après...