Inverse d'une fonction multiplicative

Ignoble en effet :

Light : encore une fois $F_p(z)= \sum_{k=0}^\infty f(p^k) z^k$ est une série entière en $z=p^{-s}$.

$\frac{1}{F_p(z)} =\sum_{k=0}^\infty f^{-1}(p^k) z^k$. Il n'y a pas de formule magique pour les dérivées de $1/F_p(z)$ sauf bien sûr quand $F_p(z)$ est une fonction rationnelle (ce qui est presque toujours le cas en théorie analytique des nombres).

Tout comme l'inverse de la convolution multiplicative, l'inverse de la convolution additive a une formule par récurrence : si $u(0) = 1,u(k) = f(p^k),v(k) = f^{-1}(p^k)$ alors $v(0) = 1$ et pour $k \ge 1$ : $$\sum_{m=0}^k u(m) v(k-m)= 0 \implies v(k) = -\sum_{m=1}^k u(m) v(k-m)$$

Si $f(n)$ est multiplicative alors $\sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s} = \prod_p F_p(p^{-s})$ et $\sum_{n=1}^\infty f^{-1}(n) n^{-s} = \prod_p \frac{1}{F_p(p^{-s})}$

Tout ça est évident.

Oulala, fais un effort le rapport est évident.

Tu ne comprends pas comment la convolution multiplicative est le truc qui apparaît dans la multiplication de séries de Dirichlet ?

Comment la convolution additive est le truc qui apparaît dans la multiplication de séries entières ?

Comment l'inverse convolutif apparaît en prenant l'inverse de la série ?

Quand on se restreint aux $p^k$ les séries de Dirichlet sont des séries entières en $p^{-s}$. Cette restriction est compatible avec la convolution et l'inverse. C'est pour ça que dans mon post il n'y a qu'un seul $f^{-1}$

La formule magique pour trouver les coefficients de Taylor d'une fonction rationnelle c'est la décomposition en éléments simples.