Nombre maximal de partitions d'un entier

Al-Kashi · November 2018

En ce moment, je fais quelques lectures en diagonale sur le thème du nombre de partitions d'un entier.
Quand j'aurais plus de temps, j'essayerai de lire sérieusement le dossier de maîtrise intitulé "partition de n" en fichier joint que je trouve plutôt bien écrit.
Mais, une question me traverse l'esprit et malgré des recherches je n'ai pas réussi à mettre la main sur une quelconque réflexion sur ce sujet.

Soit $n$ un entier naturel. Notons $ P(n)_k$, où $k$ varie de $1$ à $n$, le nombre de partitions de l'entier $n$ composés d'exactement $k$ termes non nul. Nous savons par exemple que $ P(n)_1=1$ et $ P(n)_n=1$.

Sait-on déterminer la (il y en a parfois deux) valeur $m$ telle que $ P(n)_m$ soit maximal.
J'ai répertorié en utilisant Wolphram les premières valeurs maximales en fichier joint. Cela me fait penser à du $\log$.
En vous remerciant,
Al-Kashi 82260

babsgueye · November 2018

Salut
Tu veux peut-être parler de $k$ termes distincts ? Sinon je ne vois pas l’intérêt de la question.

Al-Kashi · November 2018

Non.
Je parle de l'ensemble des partitions à exactement $k$ éléments. Tu remarqueras d'ailleurs que c'est ainsi que Wolphram les présente.

Al-Kashi

Chaurien · November 2018

Je présume qu'il s'agit du nombre du nombre $p_{n,k}$ de partitions d'un entier $n\in \mathbb N^*$ en $k$ « sommants » ($k\in \mathbb N^*$ ) qui sont des entiers strictement positifs. C'est une question très connue depuis Euler (pas de préhistoire exotique fantasmée à ma connaissance).

https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_d'un_entier
https://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf
https://www.math.psu.edu/vstein/alg/antheory/preprint/andrews/chapter.pdf
http://oeis.org/A008284

Pour chaque $n\in \mathbb N^*$, la suite $(p_{n,k})_{1\leq k\leq n}$ est « unimodale », croissante puis décroissante, comme c'est souvent le cas. Il y a donc un maximum, atteint en une ou plusieurs valeurs de $k$. C'est sans doute la question posée, c'est une bonne question.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Chaurien · November 2018

Une autre référence, qui donne un tableau plus développé des $p_{n,k}$ :
http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/actes/actespdf/95141144.pdf
La suite des maximums est ici : http://oeis.org/A002569
Bonne journée.
Fr. Ch.

Al-Kashi · November 2018

@Chaurien

Oui c'est bien la question posée, merci pour toutes les ressources, tu m'as donné du boulotX:-(

Al-Kashi

Al-Kashi · November 2018

Du coup Chaurien, si je comprends bien, le problème n'est toujours pas résolu?

Al-Kashi

nodgim · November 2018

Là comme ça, je serais tenté de dire, mais c'est juste une intuition, que le max doit être vers la valeur approchée de la racine carrée de n.
Ce qui me fait dire ça, c'est que pour un nombre n², le nombre de solutions avec de 1 à n termes est égal au nombre de solutions avec de n à n² termes.

Mais ce n'est absolument pas une certitude.

Chaurien · November 2018

@ « Al-Kashi »
Pour répondre à la question, il me semble que le mieux est de consulter la littérature concernant ce sujet, les références que j'ai citées, leur bibliographie, ou autres.
Un spécialiste de théorie des nombres pourra certainement donner une réponse.
Et s'il te plaît, corrige tes fautes d'orthographe.
Fr. Ch.

Al-Kashi · November 2018

Très bien Chaurien.

Tu as raison, à force d'écrire vite et de ne pas se relire, on laisse traîner de vilaines fautes.

Al-Kashi

Al-Kashi · November 2018

Je reprends les notations de Chaurien qui sont les plus usitées.
Indépendamment de la question que j'ai posée mais toujours autour des partitions, je n'arrive pas à expliquer pourquoi les valeurs de $(p_{n,k})_{1\leq k\leq n}$ représentant le nombre de partitions de $n$ en $k$ sommants sont exactement les mêmes que la suite que je note $(m_{n,k})_{1\leq k\leq n}$ représentant le nombre de partitions de $n$ ayant pour valeur maximale $k$.

Cela vous semble-t-il évident?

Al-Kashi

claude quitté · November 2018

Histoire sans parole. Mot-clé : partition conjuguée.

[color=#000000]
> n := 10 ;
> lambda := RandomPartition(n) ;
> lambda ;
[ 3, 2, 2, 2, 1 ]
> #lambda ;     
5
> 
> lambda_conjugate := ConjugatePartition(lambda) ;
> lambda_conjugate ;
[ 5, 4, 1 ]
> Max(lambda_conjugate) ;
5 
[/color]

claude quitté · November 2018

Oups, j'ai oublié de faire un dessin

[color=#000000]
> lambda := RandomPartition(12) ;       
> lambda ;
[ 8, 2, 1, 1 ]
> DrawPartition(lambda : Motif := "*") ;
Tableau of shape: 8 2 1 1 
* * * * * * * * 
* * 
* 
* 
> #lambda ;
4
> lambda_conjugate := ConjugatePartition(lambda) ;
> lambda_conjugate ;
[ 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
> DrawPartition(lambda_conjugate : Motif := "*") ;
Tableau of shape: 4 2 1 1 1 1 1 1 
* * * * 
* * 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
[/color]

Chaurien · November 2018

Il y a ça aussi :
https://math.stackexchange.com/questions/117954/for-which-k-are-there-most-partitions-of-n-into-k-parts

Al-Kashi · November 2018

Merci à vous deux.
C'est vachement élégant ces preuves en images.

Al-Kashi

babsgueye · December 2018

@Chaurien, le résultat de ton lien là, pour $\max_{k} (P(100, k)) = 7$ m'étonne beaucoup. N'ai-je pas encore compris la question ou quoi. Explique un peu.

babsgueye · December 2018

@Chaurien, Je pose la question parce que:

$100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 9$

Al-Kashi · December 2018

En regardant la courbe représentant $p(n)$ en fonction de $n$ j'ai quand même l'impression que la représentation graphique doit bien être représentable par les fonctions usuelles connues à ce jour.

Est-il possible à votre avis qu'une relation close puisse exister?
Bien évidemment si oui un tel résultat doit être difficile à obtenir.
Je trouve que c'est un thème de recherche très intéressant.

Al-Kashi 82402

Math Coss · December 2018

Cette impression me laisse rêveur.

Nombre maximal de partitions d'un entier

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