Nombre maximal de partitions d'un entier
dans Arithmétique
En ce moment, je fais quelques lectures en diagonale sur le thème du nombre de partitions d'un entier.
Quand j'aurais plus de temps, j'essayerai de lire sérieusement le dossier de maîtrise intitulé "partition de n" en fichier joint que je trouve plutôt bien écrit.
Mais, une question me traverse l'esprit et malgré des recherches je n'ai pas réussi à mettre la main sur une quelconque réflexion sur ce sujet.
Soit $n$ un entier naturel. Notons $ P(n)_k$, où $k$ varie de $1$ à $n$, le nombre de partitions de l'entier $n$ composés d'exactement $k$ termes non nul. Nous savons par exemple que $ P(n)_1=1$ et $ P(n)_n=1$.
Sait-on déterminer la (il y en a parfois deux) valeur $m$ telle que $ P(n)_m$ soit maximal.
J'ai répertorié en utilisant Wolphram les premières valeurs maximales en fichier joint. Cela me fait penser à du $\log$.
En vous remerciant,
Al-Kashi
Quand j'aurais plus de temps, j'essayerai de lire sérieusement le dossier de maîtrise intitulé "partition de n" en fichier joint que je trouve plutôt bien écrit.
Mais, une question me traverse l'esprit et malgré des recherches je n'ai pas réussi à mettre la main sur une quelconque réflexion sur ce sujet.
Soit $n$ un entier naturel. Notons $ P(n)_k$, où $k$ varie de $1$ à $n$, le nombre de partitions de l'entier $n$ composés d'exactement $k$ termes non nul. Nous savons par exemple que $ P(n)_1=1$ et $ P(n)_n=1$.
Sait-on déterminer la (il y en a parfois deux) valeur $m$ telle que $ P(n)_m$ soit maximal.
J'ai répertorié en utilisant Wolphram les premières valeurs maximales en fichier joint. Cela me fait penser à du $\log$.
En vous remerciant,
Al-Kashi
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Réponses
Tu veux peut-être parler de $k$ termes distincts ? Sinon je ne vois pas l’intérêt de la question.
Je parle de l'ensemble des partitions à exactement $k$ éléments. Tu remarqueras d'ailleurs que c'est ainsi que Wolphram les présente.
Al-Kashi
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_d'un_entier
https://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf
https://www.math.psu.edu/vstein/alg/antheory/preprint/andrews/chapter.pdf
http://oeis.org/A008284
Pour chaque $n\in \mathbb N^*$, la suite $(p_{n,k})_{1\leq k\leq n}$ est « unimodale », croissante puis décroissante, comme c'est souvent le cas. Il y a donc un maximum, atteint en une ou plusieurs valeurs de $k$. C'est sans doute la question posée, c'est une bonne question.
Bonne journée.
Fr. Ch.
http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/actes/actespdf/95141144.pdf
La suite des maximums est ici : http://oeis.org/A002569
Bonne journée.
Fr. Ch.
Oui c'est bien la question posée, merci pour toutes les ressources, tu m'as donné du boulotX:-(
Al-Kashi
Al-Kashi
Ce qui me fait dire ça, c'est que pour un nombre n², le nombre de solutions avec de 1 à n termes est égal au nombre de solutions avec de n à n² termes.
Mais ce n'est absolument pas une certitude.
Pour répondre à la question, il me semble que le mieux est de consulter la littérature concernant ce sujet, les références que j'ai citées, leur bibliographie, ou autres.
Un spécialiste de théorie des nombres pourra certainement donner une réponse.
Et s'il te plaît, corrige tes fautes d'orthographe.
Fr. Ch.
Tu as raison, à force d'écrire vite et de ne pas se relire, on laisse traîner de vilaines fautes.
Al-Kashi
Indépendamment de la question que j'ai posée mais toujours autour des partitions, je n'arrive pas à expliquer pourquoi les valeurs de $(p_{n,k})_{1\leq k\leq n}$ représentant le nombre de partitions de $n$ en $k$ sommants sont exactement les mêmes que la suite que je note $(m_{n,k})_{1\leq k\leq n}$ représentant le nombre de partitions de $n$ ayant pour valeur maximale $k$.
Cela vous semble-t-il évident?
Al-Kashi
https://math.stackexchange.com/questions/117954/for-which-k-are-there-most-partitions-of-n-into-k-parts
C'est vachement élégant ces preuves en images.
Al-Kashi
$100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 9$
Est-il possible à votre avis qu'une relation close puisse exister?
Bien évidemment si oui un tel résultat doit être difficile à obtenir.
Je trouve que c'est un thème de recherche très intéressant.
Al-Kashi