Ramanujan ... vrai ou faux ?

Robusta · December 2018

$1/ ((1 - x^{p_1}) (1 - x^{p_2}) (1 - x^{p_3}) (1 - x^{p_4}) (1 - x^{p_5}) (1 - x^{p_6}) (1 - x^{p_7}) ...)$ avec $p_n$ premier
=
$1 + x^{p_1}/(1 - x) + x^{p_1+p_2}/((1 - x)(1 - x^{2})) + x^{p_1+p_2+p_3}/((1 - x)(1 - x^{2})(1 - x^{3})) + x^{p_1+p_2+p_3+p_4}/((1 - x)(1 - x^{2})(1 - x^{3})(1 - x^{4})) +...$
=
$1 + x^{2} + x^{3}+ x^{4}+ 2 x^{5} + 2 x^{6} + 3 x^{7}+ 3 x^{8} + 4 x^{9} + 5 x^{10}+ O(x^{11})$ 82296

reuns · December 2018

C'est pas plutôt ça que tu voulais. Si $$
\frac{1}{\prod_{k=1}^K (1-x^{p_k})} = 1+\sum_{k=1}^K \frac{x^{p_k}}{\prod_{m=1}^k (1-x^{p_m})}

$$ alors $$
1+\sum_{k=1}^{K+1} \frac{x^{p_k}}{\prod_{m=1}^k (1-x^{p_m})}=\frac{1}{\prod_{k=1}^K (1-x^{p_k})}+\frac{x^{p_{K+1}}}{\prod_{m=1}^{K+1} (1-x^{p_m})}= \frac{1-x^{p_{K+1}} + x^{p_{K+1}}}{\prod_{m=1}^{K+1} (1-x^{p_m})}

$$ donc $$
\frac{1}{\prod_{k=1}^\infty (1-x^{p_k})} = 1+\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{p_k}}{\prod_{m=1}^k (1-x^{p_m})}$$

Robusta · December 2018

Bonjour Reuns,
le dénominateur du membre à droite de ta première relation n'est pas $(1-x^{p_m})$ dans celle de Ramanujan.
Il s'agit de vérifier si Ramanujan dit vrai ou s'il s'est fait avoir par la logique apparente de la séquence.
Maintenant, ta relation semble juste !
http://tinyurl.com/ybfr4ksz ; http://tinyurl.com/y9kzmy4h Note : https://oeis.org/A238804

Voir page 275 du pdf joint

Ramanujan ... vrai ou faux ?

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Bonjour!

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