Norme, anneau euclidien

Sheshe123
Sheshe123
dans Arithmétique
Bonsoir, je me pose cette question.
On se place dans un anneau par exemple $\ \Z\Big[\dfrac{1+i\sqrt{19}}2\Big]$
On sait qu'il n'est pas euclidien mais principal, or pour montrer qu'il n'est pas euclidien, on utilise le fait que les seules unités de cette anneau sont -1 et 1 or pour démontrer cela on utilise la norme basique.
Mais en changeant de norme obtient-on toujours les mêmes unités ?

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il y a une seule norme $N$ au sens de norme de l'extension quadratique, c'est le produit d'un élément de l'anneau par son conjugué. Cette norme est multiplicative : $N(uv)=N(u)N(v)$ et elle est à valeurs entières. Donc, pour tout élément $u$ de l'anneau, $u$ est inversible si et seulement si $N(u)$ est inversible dans $\mathbb Z$, c.-à-d. si et seulement si $N(u)=\pm1$.
  • Sheshe123
    Sheshe123
    Mais alors, quel est l'utilité de la notion de stathme ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je ne comprends pas ta question. Utilité pour quoi ? Et dans un anneau non euclidien, on ne voit pas comment "le stathme" pourrait être d'une quelconque utilité.
  • Sheshe123
    Sheshe123
    Un anneau intègre est dit euclidien si et seulement s'il existe un stathme euclidien sur cet anneau.
    Du coups, pour montrer qu'un anneau n'est pas euclidien soit on montre qu'il n'est pas principal soit qu'il n'est pas factoriel par exemple, mais si l'anneau en question est principal mais non euclidien comment faire ?
    On doit bien montrer qu'il n'existe aucun stathme vérifiant "une division euclidienne" mais pour cela on utilise la norme basique mais il y a bien d'autre "norme" qu'ont peut utiliser.
    Est-ce plus clair ?
  • Poirot
    Poirot
    C'est quoi la "norme basique" ? Tu poses une question de théorie des anneaux à l'anneau $\mathbb Z \left[\frac{1+i \sqrt{19}}{2}\right]$, il y répond à la négative, un point c'est tout. Peu importe qu'à un moment tu aies utilisé une "norme" sur cet ensemble, les unités ne change.
  • Sheshe123
    Sheshe123
    On dit que un anneau A est dit euclidien, s'il existe une application f de A dans N pour tout a, b € A, il existe q et r tels que a = bq + r et f(r) < f(b).
    L'application f, peut être la norme définie habituellement pour un corps quadratique réel ou imaginaire : N(z)=(a+ib)(a-ib)
    Avec z=a+ib
    Mais l'application f peut être autre chose non ?
  • reuns
    reuns
    La distinction c'est entre Euclidien et norme-Euclidien https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain#Norm-Euclidean_fields

    Ton anneau n'est pas norme-euclidien et apparemment pas euclidien (pour aucun stasthme)

    Mais certains anneaux sont euclidiens mais pas norme-euclidien
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est apparemment le cas de $\Z[\sqrt{14}]$, voir ici ou là ou ailleurs.
  • Sheshe123
    Sheshe123
    Donc si j'ai bien compris il y a des anneaux qui vérifient la norme usuelle donc par définition sont euclidien et d'autre qui sont euclidien sans passer par la norme usuelle ?
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