Jeu: maximisation du produit
dans Arithmétique
Après avoir joué avec mes élèves au jeu consistant à trouver la partition d'un entier dont le produit est maximal, je me suis demandé ce qu'il se passait si l'on étendait le jeu à $\mathbb{R}$...
Si le résultat est simple en restant dans $\mathbb{N}$, l'extension a priori ne me semble pas simple.
Voici donc les règles:
On fixe un nombre $r$ positif dans $\mathbb{R^{+}}$.
Comment déterminer la décomposition de $r$ en plusieurs termes de $\mathbb{R^{+}}$ dont le produit est maximal?
Al-Kashi
Si le résultat est simple en restant dans $\mathbb{N}$, l'extension a priori ne me semble pas simple.
Voici donc les règles:
On fixe un nombre $r$ positif dans $\mathbb{R^{+}}$.
Comment déterminer la décomposition de $r$ en plusieurs termes de $\mathbb{R^{+}}$ dont le produit est maximal?
Al-Kashi
Réponses
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En faisant quelques essais, il me semble qu'intuitivement les termes seront entre $2$ et $3$.
Par exemple dans $\mathbb{N}$ la meilleure décomposition pour $8$ est $3+3+2$ qui donne un produit de $18$
Avec l'extension j'arrive à faire mieux autour de $2.7+2.65+2.65$ qui donne un produit de $18.96075$
Al-Kashi -
Deux idées :
$xy\leq((x+y)/2)^2$
La fonction $x\mapsto (n/x)^x$ -
@Al-Kashi
Résultats d'exécution pour $3 \le n \le 20$. Colonne de droite gauche : $n$, ensuite le max (parmi les produits des partitions de $n$) et enfin les partitions qui réalisent ce max.[color=#000000] 3 3 <[ 3 ]> 4 4 <[ 4 ], [ 2, 2 ]> 5 6 <[ 3, 2 ]> 6 9 <[ 3, 3 ]> 7 12 <[ 4, 3 ], [ 3, 2, 2 ]> 8 18 <[ 3, 3, 2 ]> 9 27 <[ 3, 3, 3 ]> 10 36 <[ 4, 3, 3 ], [ 3, 3, 2, 2 ]> 11 54 <[ 3, 3, 3, 2 ]> 12 81 <[ 3, 3, 3, 3 ]> 13 108 <[ 4, 3, 3, 3 ], [ 3, 3, 3, 2, 2 ]> 14 162 <[ 3, 3, 3, 3, 2 ]> 15 243 <[ 3, 3, 3, 3, 3 ]> 16 324 <[ 4, 3, 3, 3, 3 ], [ 3, 3, 3, 3, 2, 2 ]> 17 486 <[ 3, 3, 3, 3, 3, 2 ]> 18 729 <[ 3, 3, 3, 3, 3, 3 ]> 19 972 <[ 4, 3, 3, 3, 3, 3 ], [ 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2 ]> 20 1458 <[ 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2 ]> [/color]
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Le max, si on admet une puissance irrationnelle, est e^(n/e) il me semble.
Si la puissance est entière, c'est à ajuster avec la valeur la plus proche de n/e. -
Bonjour,
On note $\displaystyle r=a+b+c+...$ un réel positif que l'on décompose en une addition de $\displaystyle n \geq 1$ termes : $\displaystyle a,b,c, ...$ strictement positifs de telle sorte que le produit $\displaystyle abc...$ est maximal.
La solution est $\displaystyle a=b=c=... = r/n$ et le maximum est $\displaystyle (r/n)^n.$
Par exemple pour $\displaystyle r=8$ et $3$ termes, on a $\displaystyle 8=8/3+8/3+8/3$ et $(8/3)^3 =18.962(9).$
La démonstration est élémentaire par les multiplicateurs de Lagrange.
$\displaystyle F(a,b,c, ...) = abc... - \lambda (a+b+c+...-r)$
$\displaystyle \partial_a F = bc... - \lambda = 0$ et donc $\displaystyle abc... = \lambda a = \lambda b = \lambda c = ...$
Si $\displaystyle \lambda=0$, alors au moins un des $\displaystyle a,b,c, ...$ est nul : contradiction.
Pour $\displaystyle \lambda \neq 0$, $\displaystyle a=b=c...=r/n.$
Enfin, la fonction $\displaystyle x \mapsto (r/x)^x, x >0$ possède un maximum en $\displaystyle x=r/e.$ Pour $\displaystyle r=8$, le maximum est donc en $\displaystyle 8/e = 2.9(4)$ et est effectivement entre $2$ et $3$ termes. Le maximum pour $2$ termes est $\displaystyle (8/2)^2 = 16$ et le maximum des maxima est bien avec $3$ termes. -
Le résultat du travail de C Quitté se montre par récurrence je crois.
A partir de n = 6..............3 * 3 > 2 * 2 * 2.
Donc, par tranche de 6 unités, préférer faire 3 * 3 plutôt que 2 * 2 * 2.
pour 8...................... 4 * 4 < 3 * 3 * 2. Donc préférer encore le 3.
Au final, découper le nombre par tranches de 3. S'il reste 1, préférer 2 * 2 à 3 * 1. -
@Claude
Pour les entiers il n'y a pas de souci, le résultat est connu et d'ailleurs j'ai été surpris par mes collégiens.
@Yves
J'ai aussi en cherchant un peu trouvé le même résultat pour $8$ de cette manière:
On cherche le max de $xy(8-(x+y))$.
Pour $y$ fixé le maximum est obtenu pour $x=4-\dfrac{y}{2}$
On obtient ainsi le trinôme $y(4-\dfrac{y}{2})²$ qui a pour maximum dans $\mathbb{R^+}$ la valeur $y=\dfrac{8}{3}$
Al-Kashi -
Soit $N$ un entier naturel non nul et $x_1,\ldots,x_N$ des réels strictement positifs on a $$
\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\ln(x_i)\leq \ln\left(\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}x_i\right).
$$ Conséquence de la concavité de la fonction $\ln$ sur son domaine de définition.
L'inégalité ci-dessus est équivalente, sauf erreur, à $$
x_1x_2\cdots x_N\leq \left(\frac{x_1+\cdots +x_N}{N}\right)^N
$$ PS. Et comme déjà indiqué par Soland on est conduit à étudier la fonction $f(x)=\left(\frac{r}{x}\right)^n$ sur $]0;\infty[$ avec $r$ le nombre qu'on veut décomposer. Sauf erreur, comme déjà indiqué par Nodgim cette fonction a un maximum en $x=\dfrac{r}{\text{e}}$ sauf erreur. -
Non @Fin de partie ! ta deuxième inégalité est équivalente à:
$\begin{align}\sum_{i=1}^{N}ln(x_{i})\,\leq Nln\left(\sum_{i=1}^{N}\dfrac{x_{i}}{N}\right)\end{align}$.
Par ailleurs dans vos raisonnements précédents est ce que vous avez vraiment montré que:
Si $F(x) = F(x_{1}, x_{2},\cdots x_{N})\mapsto \prod_{i=1}^{N}x_{i}$ et $G(x) = G(x_{1}, x_{2},\cdots x_{N})\mapsto \left(\sum_{i=1}^{N}\dfrac{x_{i}}{N}\right)^N$
alors on a toujours:
$\begin{align}F(x) - G(x)\,\leq\,0\end{align}$ ? Comment ? -
Babsgueye:
L'inégalité que tu donnes est une conséquence très immédiate de l'inégalité de convexité sur la fonction $\ln$.
(multiplier les deux membres de l'inégalité par un nombre strictement positif $N$ )
La fonction $\exp$ est croissante.
En prenant l'exponentielle de chaque membre on obtient de la sorte l'inégalité dont nous avons besoin ici : $$
x_1x_2\cdots x_N\leq \left(\frac{x_1+\cdots+x_N}{N}\right)^N
$$ Et cette inégalité est, comme on vient de le voir (si on se donne la peine de faire les calculs qui sont immédiats à faire), une conséquence de la concavité de la fonction $\ln$.
(cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_convexe#Extension_à_des_barycentres_de_plus_de_deux_points )
PS1. C'est aussi une conséquence de l'inégalité qui relie la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique (si on connaît ce résultat)
PS2. Comme déjà indiqué par YvesM, soit $N$ un entier naturel non nul,
Si $r=x_1+x_2+\cdots+x_N$ est donné.
Si on prend $x_1=x_2=\cdots =x_N=\frac{r}{N}$
on a des valeurs des $x_i$ qui réalisent effectivement le maximum que peut atteindre $x_1x_2\cdots x_N$ à savoir : $$
\left(\frac{r}{N}\right)^N
$$ PS3. Pour tout $a,b$ réels, $\lambda>0$,
$a\leq b$ est équivalente à $\lambda \times a\leq \lambda \times b$ -
J'ai rien dit. Les deux formules sont équivalentes !
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