Pgcd(0,0)

respectivement 4 et 0.
Rappel de définition : $d$ est pgcd de $a$ et $b$ si et seulement l'ensemble des diviseurs de $d$ est égal à l'ensemble des diviseurs communs de $a$ et $b$.

Là, pour le ppcm, on retrouve bien la définition convenable : $m$ est ppcm de $a$ et $b$ si et seulement si l'ensemble des multiples de $m$ est égal à l'ensemble des multiples communs de $a$ et $b$.

PGCD: Plus grand commun diviseur.

Pour tout $n$ entier naturel,
$0=0\times n$


$PGCD(0,0)$ n'existe donc pas, il n'y pas de plus grand diviseur de $0$.

J'ai l'impression, peut-être à tort que ton dernier message Melpomène répond au mien, si c'est le cas:

Ne confonds-tu pas les adjectifs petit et grand?
Je ne conteste pas le fait que $0$ divise $0$ si on prend comme définition:
On dit que $d$ divise $n$, s'il existe $r$ un entier tel que $n=r\times d$
et je ne conteste pas non plus le fait que $0$ est le plus petit entier naturel.
Mais à ma connaissance il n'y a pas de plus grand entier naturel et n'importe quel entier naturel divise $0$ avec la définition rappelée ci-dessus.

PS: À partir du moment qu'on prend comme définition pour le PGCD des entiers $a$,$b$: le plus grand entier qui divise $a$ et $b$ on est bien obligé d'exclure le cas où $a=b=0$

C'est comme si à la question :
Quelle est la couleur du cheval blanc d'Henri IV on acceptait comme valide la réponse : NOIRE.
Les mots ont un sens que diable !
Pourquoi se forcer à définir le pgcd de deux nombres identiquement nuls en terminale ?

@FdP: j'ai compris ce qui te gêne. Pour toi, "le plus grand" est à prendre au sens de l'ordre naturel, pas pour ma définition.

En fait, dans "ma" définition, la relation d'ordre porte sur les idéaux principaux: $(d)$ est le plus grand élément parmi de l'ensemble des idéaux principaux qui contiennent à la fois$(a)$ et $(b)$.

Dans le cas où $(a,b)\neq (0,0)$, on obtient la même chose, mais pas pour le cas limite $(a,b)=(0,0)$.

De toute façon, la définition que j'ai donnée est la bonne, car un anneau quelconque ne possède pas nécessairement de relation d'ordre compatible avec ses lois (e.g. $A=\mathbb{C}$).

Le relation d'ordre, ou plus exactement de préordre, qui intervient pour la définition du pgcd est la relation de divisibilité : un pgcd est une borne inférieure pour la relation de divisibilité.
Et pour la relation de divisibilité, $0$ est bien plus grand diviseur commun de $0$ et $0$.
Cette définition est la bonne définition, c'est une définition tout-terrain. Quel autre préordre serait-il naturel de considérer sur un anneau commutatif ?

Toute proportion gardée, cela ressemble au débat sur $0^0=1$.
Ou bien ça n'a pas de sens ou bien on prend une définition (qualifiée de "la bonne" par ceux qui la défendent).

Pour les collégiens (d'avant 2016, car ce n'est désormais plus au programme), on prenait la définition de PGCD littéralement en français ("le plus grand", au sens de l'ordre usuel des nombres, appliqué aux entiers) sans s'embêter en virant ce satané $0$. PGCD(4;0) ne pose pas de problème et on pouvait discuter et dire qu'avec PGCD(0;0) cela posait des problèmes comme soulignés par Fin de partie.

Toujours pour les mêmes collégiens, on ne propose pas vraiment d'alternative pour $0^0$. Rien que la "puissance 1" n'est pas vraiment sensée puisqu'on définit les puissances supérieures ou égales à 2 par un produit.
Eh, oh, ne râlez pas ! On parle de l'addition et la multiplication autour de 13 ans.
On justifie parfois toutes ces conventions (pour $a$ non nul et pour tout entier $n$ : $a^0=1$ et $a^{-n}=1/a^n$ etc.) par le fait que ça fonctionne bien avec les formules, notamment pour les puissances négatives qui sont des "divisions par $a$ cachées".
Je parle de "convention" mais c'est à rapprocher de "définition", bien entendu.

Evidemment, GaBuZoMeu argumente avec des définitions qui permettent de généraliser le plus possible si j'ai bien compris. Cela me semble faire partie du travail du mathématicien.

Tout ça pour dire qu'il n'est pas question ici de savoir qui a raison, puisque, une fois les définitions posées et acceptées par tous, et bien...tout le monde est d'accord.
Faut-il s'accorder sur les définitions...

Edit : je n'avais pas vu le message de Gérard, qui en très peu de mots va dans le même sens que le mien.

Gérard a écrit:

dans les programmes du Capes, la seule notion d'ordre sur les entiers est $\leq$

Peux-tu me citer l'extrait du programme du CAPES d'où tu tires cette information ?

Pour rappel, l'algorithme d'Euclide fabrique, à partir de deux entiers $a$ et $b$, un entier $d$ dont l'ensemble des diviseurs est égal à l'ensemble des diviseurs communs de $a$ et $b$ ; à partir des entrées $0$ et $0$, il produit $0$. Même sans chercher à généraliser, ceci montre bien que cette définition est la bonne
Il se trouve que pour tout entier $a$ et tout entier naturel non nul $b$, si $a$ divise $b$ alors $a\leq b$.

Salut.

Et à quoi est égale $\infty\times 0$.

Dans la même logique $PGCD(0, 0)$ doit être pris comme une forme indéterminée (surtout si un jour on voulait étendre cette notion aux limites)

Heu ... $\infty$ n'est pas un entier, ni même un nombre réel.
Alors que PGCD(0,0) est tout à fait définissable avec les définitions post bac, même si la définition intuitive du collégien ne le permet pas. Ce n'est qu'une question de niveau d'apprentissage.

Cordialement.

Maintenant on peut se demander si $1$ est un nombre premier, ou pas... X:-(

PS:
Je partage les propos consensuels de Dom.

Malavita.
Pourquoi vouloir définir à tout prix pgcd(0,0) en terminale, dans l'enseignement secondaire* ?

Pour la dernière fois, la signification de l'acronyme PGCD est plus grand commun diviseur.
Est-ce que $0$ est le plus grand diviseur de $0$ ?

* quelle est l'utilité ?

Math Coss:

$10$ est plus grand que $0$ qui est plus petit que 100 etc et tous ces nombres divisent $0$. Il est clair dès lors qu'il n'y a pas de plus grand diviseur de $0$. Pourquoi rajouter une convention qui je pense n'a aucune utilité réelle dans l'enseignement secondaire?

PS:

En fait, il se peut aussi que Math Coss ne soutienne pas le contraire de ce que j'ai écrit. B-)
Désolé si j'ai mal compris.

Bonsoir,

@findepartie et mathcoss: je ne veux pas définir à tout prix le pgcd de 0 et 0 en terminale, mais dans le cas où un hypothétique élève de terminale se pose la question d'une telle définition, on peut tout à fait lui répondre....Après l'intérêt d'une telle question, mis à part distraire des matheux sur un forum ou ennuyer un candidat au capes, je n'en vois guère ;-)

Bonne soirée

F.

Malavita:

Pourquoi ne pas s'en tenir à: on ne peut pas définir pgcd(0,0) avec la définition usuelle?
Si tu affirmes qu'on peut donner un sens à pgcd(0,0) et que c'est 0, celui ou celle qui n'a jamais entendu parler de la théorie des anneaux commutatifs et qui ignore ce qu'est un anneau principal va te poser la question et pourquoi pas 1? pourquoi pas 100? Et puis il y en a un ou une, je l'espère, qui va tenir l'argument que je tiens depuis le début.
Tu va dire quoi à tous ces gens? Croyez moi pgcd(0,0)=0 fermez le banc?

La définition qu'on trouve dans le Didier, math'x, terminale TS, spécialité, programme 2012, page 82:

Si $a$ et $b$ sont des entiers relatifs non tous les deux nuls. L'ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$ admet un plus grand élément. On l'appelle Plus Grand Commun Diviseur de $a$ et $b$ et on le note $\text{PGCD(a,b)}$.

Dans le Transmath TS, spécialité, Nathan, programme 2012, p 42 on a la même présentation et définition sauf que les auteurs de ce manuel sont plus frileux ils considèrent que $a,b$ sont des entiers naturels non nuls.

PS:
Au moins ces auteurs comprennent l'intérêt pédagogique de respecter le sens de l'acronyme.

Math Coss:

Pourquoi parce qu'on défend un point de vue: Il n'est pas souhaitable et sans utilité d'attribuer une valeur à pgcd(0,0) dans l'enseignement secondaire et que la définition donnée dans les deux manuels scolaires mentionnés est suffisante à ce niveau de classe, on est immédiatement soupçonné d'être un ignorant?

Romyna:

Si, à un élève et à son frère et sa soeur, leur père leur dit: vous êtes privés de gâteau l'élève comprend bien que sa part est composée de 0 gramme de gâteau et qu'on a bien réparti équitablement 0g de gâteau entre trois personnes, la part de chacun s'élevant à 0g.


PS:

On évite de diviser $0$ par $0$ parce que $0=0\times d$ pour tout $d$ entier tandis qu'on a unicité de $d$ si on divise un entier quelconque par autre chose que $0$. Mais à nouveau la question est, est-il pertinent, ou non, de rajouter qu'on souhaite que le $d$ soit unique?

@FdP : C'est ce message qui est un peu curieux : tu continues à parler de l'ordre naturel en réponse à un message où il est question de divisibilité (préordre sur $\Z$, vrai ordre sur $\N$).

Math Coss : Tu lis ce que tu as envie de lire.

On est bien d'accord que cette définition se généralise mal, par exemple, à un frère jumeau de $\mathbb{Z}$ qu'est $\mathbb{Z}[ i]$, mais elle a l'avantage d'être simple et opératoire (et historiquement j'imagine que c'est cette notion qui a surgi en premier).

Il y a deux points de vue si j'ai bien compris.

1) Le pgcd de $a$ et $b$ est le seul entier positif ou nul tel que si un entier divise $a$ et $b$ il doit diviser ce nombre.
avec cette définition $\mathrm{pgcd}(0,0)=0$.

Mais cette définition n'est pas opératoire et nécessite des explications plus compliquées (pourquoi ce nombre existe et est unique ?) je pense qu'avec la définition ordinaire.

2) $\mathbb{Z}$ est un anneau principal, soit $a$ et $b$ des entiers relatifs
$(a)+(b)$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ et il est principal donc il existe un entier $d$ tel que $(a)+(b)=(d)$
ce $d$ s'il est non nul n'est pas unique $-d$ est aussi un générateur de cet idéal.
On dit alors que $d$ est UN PGCD de $a$ et $b$.
$(0)+(0)=(0)$ donc cela permet de donner un sens $\mathrm{pgcd}(0,0)$ (il vaut $0$).

NB. $(a)$ désigne l'idéal engendré par $a$ c'est-à-dire ici l'ensemble $a\mathbb{Z}$.

PS. Merci AD je me débattais avec le i dans le message précédent. J'avais oublié que [ i est utilisé pour l'affichage de la page.
[À ton service. :-) AD]

Bon, je reviens pour corriger le 1) de FdP : il oublie que le pgcd est un diviseur commun). La bonne définition est :
$d$ est pgcd de $a$ et $b$ quand l'ensemble des diviseurs de $d$ est égal à l'ensemble des diviseurs communs de $a$ et $b$.

Cette définition est bien plus opératoire, et correspond exactement à ce que fait l'algorithme d'Euclide : l'ensemble des diviseurs communs de deux termes successifs est un invariant de boucle, on commence avec $a$ et $b$ et on termine avec $d$ et $0$.

Je l'ai déjà écrit, mais FdP ne lit pas, ou de travers.

J'ai oublié de mentionner qu'avec mes définitions "le plus grand diviseur commun" de $0$ et $0$ c'est bien (l'idéal) $\lim_{n \to \infty} n!$.

C'est une définition correcte mais pas si habituelle : pour tout couple d'entiers, on trouve $1$. On pourrait l'appeler le ppcd ?

Bon, un flagrant délit de plus de lecture trop rapide !