Nombre de solutions de $2017x+2018y+2019z=n$
dans Arithmétique
Petit exercice pour cette fin d'année.
Déterminer le nombre exact de solutions dans $\mathbb{N^3}$ de l'équation:
$$2017x+2018y+2019z=n$$
Al-Kashi
Déterminer le nombre exact de solutions dans $\mathbb{N^3}$ de l'équation:
$$2017x+2018y+2019z=n$$
Al-Kashi
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Réponses
L'équation a $0$ ou $1$ solution.
Cordialement.
Je dirais :
si R impair s(n) = min { (R+1) / 2 ; Q - (R-1) / 2 }
si R pair s(n) = min { R / 2 + 1 ; Q - R / 2 + 1 }
min { R / 2 + 1 ; Q - R / 2 + 1 } = min( 6,-4) ??
Cordialement.
Cordialement.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1038311,1038707
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1570026,1571656
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1318870,1318872
Tes formules sont nécessairement incorrectes.
En effet lorsque $Q$ est assez grand tes formules donnent un nombre de solutions qui s'écrit en fonction uniquement du reste $R$ qui est majoré.
Al-Kashi
n = 2017 Q0 + R0 donne des solutions mais
n = 2017 (Q0-1) + (R0+2017) = 2017 Q1 + R1 donne d'autres solutions et
n = 2017 (Q0 - 2 ) + ( R0+ 2*2017) = 2017 Q2 + R2 donne aussi d'autres solutions
etc....
Je donne un exemple plus simple en changeant les nombres $2017, 2018, 2019$ en $a = 2$, $b = 3$, $c=5$ qui sont premiers deux à deux. Je prends $k=1$. Toi tu dis qu'il y a $(k+1)(k+2)/2 = 3$ solutions pour $ax + by + cz = k \times abc =_{\rm ici} 30$. Mais moi, je trouve qu'il y en a beaucoup plus, à savoir $21$ : J'ai obtenu cette liste en déclarant un anneau de polynômes sur $\Z$ à trois variables de poids $(a,b,c)$ respectifs et en demandant les monômes de poids $abc$. J'ai également obtenu ce nombre en développant en série formelle
$$
{1 \over (1-t^a) (1 - t^b) (1 - t^c)}
$$
Et enfin, avec une troisième méthode : puisque $a,b,c$ sont premiers deux à deux, j'ai utilisé un résultat de Beck & Robins, page 15 et chap 8 de leur ouvrage, résultat que j'ai implémenté il y a longtemps. Je crois que leur ouvrage s'intitule Computing the Continuous Discretly, Integer-point Enumeration in Polyhedra.
J'ai mal compris ce que tu as dit ? Je me gourre quelque part ? J'aurais dû prendre $a,b,c$ consécutifs ? (j'avais pris au début $a=3, b=4, c=5$ conduisant à 37 solutions pour ton $k=1$)
Mais je n'ai fourni cet exemple que pour prouver à babsgueye que le nombre de solutions à l'équation proposée pouvait être arbitrairement grand.
Je n'ai donc pas pris la peine de rechercher toutes les solutions quand $n=2017\times2018\times2019k$ mais seulement d'en donner un certain nombre qui pouvait être arbitrairement grand.
Merci.
Al-Kashi
Rédaction à venir, c'est assez long et spécial.....
Avec $a$ et $b$ premiers entre eux, le nombre de solutions de $ax+by=n$ est:
$$\dfrac{n-b(nb^{-1})_a-a(na^{-1})_b}{ab}+1$$
Al-Kashi
Dans les grandes lignes :
-1. Déterminer les valeurs mini et maxi pour x+y+z
-2. Pour chaque valeur possible de x+y+z, déterminer le nombre de solutions
Voici le code correspondant. Toutes les lignes en commentaires sont inutile pour le traitement, mais elle permettent de suivre le calcul.
Pour n = 10 000 000 par exemple, ça affiche ceci :
Une formulation explicite est bien possible
Al-Kashi
S(N) = Somme pour i allant de arrondi.sup ( N/2019) à arrondi.inf(N/2017) de f(i)
avec f(i) = 1+partieentiere( ( i-abs(N-i*2018) )/2)