Rédaction principe tiroirs

gauss · December 2018

Bonjour

Etant donné 51 entiers compris entre 1 et 100, montrer qu'il en existe toujours au moins deux consécutifs.

Si on raisonne par l'absurde, en supposant qu'il n'existe aucun entier consécutif parmi les 51, en nommant a₁ le plus petit d'entre eux, et en classant du plus petit au plus grand les 51 entiers, (a₁<a₂<...<a₅₁), on arrive sans peine à a₅₁ >= 101 (car il y a au moins 2 unités d'écart entre chaque a_i et a_i+1) ce qui constitue une contradiction.
Cela doit pouvoir se rédiger avec plus d'élégance, en utilisant le principe des tiroirs. Comment procéder ?
Par avance merci, bonne journée.

aléa · December 2018

Considérer l'application $\phi$ qui à $x$ associe la partie entière de $(x-1)/2$.
Si $A\subset\{1,\dots 100\}$, $\phi(A)\subset\{0,\dots 49\}$ donc $\phi$ ne peut être injective sur $A$ si $|A|>50$.

Cidrolin · December 2018

Vous considérez les 50 "tiroirs" {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, ..., {99, 100}. En prenant 51 entiers, deux seront dans le même tiroir.

Rédaction principe tiroirs

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