Deligne-Serre pour les enfants ?

@reuns
Tu pointes un pdf de Gabor Wiese en parlant de sa page 43 mais l'article ne fait que 20 pages. Par ailleurs, je pense que tu peux comprendre que nous avons chacun notre manière d'essayer de comprendre ceci ou cela. Pas si facile quand même ainsi, en ce qui concerne le groupe de 2-Selmer, je suis toujours dedans car je veux faire des choses à ma manière.

@reuns et moduloP DOUCEMENT.
Par exemple, est ce qu'on peut m'expliquer pourquoi Don Zagier, à la page 43 de https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/978-3-540-74119-0_1/fulltext.pdf, dit à la ligne 14 en partant du bas :

By elementary algebraic number theory we have that the $L$-series $L_K(s,\chi)$ is the quotient $\zeta_F(s) / \zeta(s)$ ...etc... Si vous ne savez pas, je préfère un réponse franche du style ``je ne vois pas'' plutôt qu'un truc fumeux écrit à cent à l'heure.

By elementary algebraic number theory : quid ? Note : $L_K(s,\chi)$ est défini en bas de la page 41.

Et pensant que j'y suis, la condition (A) en haut de la page 196 du papier fondateur de Serre (1977), cela vous cause ? Vous avez compris ce qui est ``arrivé'' à cette condition (A) ?

@Paul
Vu ta proposition de contribuer mais pour l'instant, c'est un peu-beaucoup flou dans ma pauvre tête.

@ModuloP (suite)
1) Je pense que pour y voir plus clair, cela serait bien de simplifier le contexte de ton point 6. En ce moment, il y a trop d'objets. Tu y as pensé ? Je te propose quelque chose ?

2) Dans la section 4.3 de Don Zagier (pages 41-42-43 et qui s'intitule ``Modular Forms and Algebraic Number Theory'', titre qui me plait bien), je ne vois nulle part de mention de représentation galoisienne et de fonction $L$ d'Artin. Je suis myope ? Petit bémol quand même : les 3/4 lignes du bas de la page 43 : ``This is the first non trivial example of the connection ...etc...''

3) J'ai lu le papier de Karen Smith. Il me semble que je pourrais rapporter ce que Van Der Blij a prouvé dans les années 1950. Mais pas maintenant, car cela risque de compliquer les choses.

$\def\p{\mathfrak p}$@moduloP
J'ai commencé à lire ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745780,1746098#msg-1746098 (mais je n'ai pas fini, il faut que je fasse une seconde passe). Quel boulot. Tu m'obliges à prendre un stylo et un papier. Je ne pense pas qu'il faille en faire plus sinon tu vas te tuer (et moi aussi).

Je comprends que tu as réussi, pour un premier $p$, inerte dans $K$, à montrer que $a_p = 1$ (du côté de $F$ donc) et $b_p = 1$, disons du côté de $\chi$. En profitant de la petitesse de $S_3$. Et ici, pour $L(s,\chi)$, tu joues la carte $\sum_I \chi(I) N(I)^{-s}$.

Note bien que je ne sais pas trop ce que je veux. Enfin, un peu quand même : récolter quelques manifestations arithmétiques (loi de décomposition par exemple), bienfaits de la correspondance Deligne-Serre, si tu vois vaguement ce que je veux dire. Dans le papier de K. Smith, il n'est absolument pas question de ce qui se passe dans $F$ ni de représentations galoisiennes : tout se passe au niveau du corps quadratique $K$ et de la forme modulaire $\eta(q)\eta(q^{23}) = {1\over 2} (\theta_{Q_0} - \theta_{Q_1})$ (cette égalité est montrée à la main par Van Der Blij).

Ce que je veux : c'est mettre un peu d'ordre dans ma pauvre tête. Car il va y avoir d'autres patacaisses : celui des $\theta$-séries et faut pas se leurrer, on va de nouveau rencontrer les séries à la Kani qu'il faudra relier aux séries dans lesquelles interviennent le nombre d'idéaux de norme donnée. Encore une fois, Don Zagier en dit seulement deux lignes en bas de la page 41.

A propos de ton post. Souvent tu utilises ``indice d'inertie'' mais une fois ``degré résiduel'' (je sais bien que inertial degree et residual degree, c'est la même chose). C'est voulu (d'utiliser les deux) ? Il doit y avoir une coquille à la ligne 9 en partant tu bas : tu as écrit $e(\p_i) = 1$ et je pense que tu voulais dire $f(\p_i) = 1$.

Autres nouvelles plus tard.

$\def\Le#1#2{\left({#1\over #2}\right)}\def\Disc{\text{Disc}}\def\F{\mathbb F}$@reuns Je tire tes posts, je lis et peut-être suite plus tard.

@moduloP
Est ce que nous avons fait des progrès depuis 6 mois ? Je ne sais pas. Est ce que nous ne tournons pas un peu en rond ? Est ce que nous ne rabâchons pas un peu avec ce discriminant $-23$ et $X^3 - X - 1$ ? Il a fallu juste la petite phrase de Don Zagier ``By elementary algebraic number theory ...'' pour que cela s'agite dans tous les sens. Et maintenant, je vais dire ``je'' et pas ``nous'' : cela prouve que je ne suis ABSOLUMENT PAS CLAIR dans cette histoire.
Je répondrais plus tard sur ton dernier post : j'ai lu assez attentivement les 40 pages de K. Smith et je souhaite en reparler dans la suite.

Mais j'en viens à ton avant dernier post. Tu va pouvoir vérifier à quel point je ne suis pas clair (je n'ose pas dire nous). Je rappelle le critère de Stickelberger où $K$ est un corps fini de caractéristique $\ne 2$ et $f \in K[X]$ un polynôme unitaire de discriminant non nul :
$$
\Le{\Disc(f)} {K} = (-1)^{\deg f - r} \qquad \hbox {où $r$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f$ dans $K[X]$}
$$
Le symbole $\Le{\bullet}{K}$ est celui du statut quadratique dans $K$. Ce résultat est un résultat totalement élémentaire : cela se passe sur un corps fini, rien à voir mais rien à voir avec la théorie des nombres ...etc...

Je l'applique à $f = X^3 - X - 1$ de discriminant $-23$, de degré $3$, $K = \F_p$ avec $p \ne 23$ en supposant $-23$ non carré modulo $p$ (pareil que $p$ non carré modulo $23$, utilisation de la loi de réciprocité quadratique ici). On obtient alors
$$
-1 = (-1)^{3-r} \quad \hbox {i.e. $r$ pair}
$$
Et comme on est en degré 3, $r$ pair, c'est pareil que $r=2$ et donc $f = f_1f_2$ avec $\deg f_1 = 1$ et $\deg f_2 = 2$.

Enfin, comme le discriminant de $f$ est sans facteur carré, on a, en notant $F = \Q(x)$ où $x$ est une racine de $X^3 -X -1$, que $\mathcal O_F = \Z[x]$. Alors par ``mini-petit-Kummer'', la factorisation de $f$ modulo $p$, c'est pareil que la factorisation de $p$ dans $\mathcal O_F$ i.e. $p = \mathfrak p_1\mathfrak p_2$ avec $\mathfrak p_i$ de degré résiduel $i$.

Ce qui m'inquiète, c'est d'avoir mis autant de temps pour m'en apercevoir. Je viens ainsi de PROUVER que je ne suis pas clair. Et je ne te parle pas des autres points. Je voudrais bien mettre de l'ordre, ce qui implique des échanges cadrés (si on peut).

@moduloP
Bien sûr que moi aussi j'aime bien ta petite gymnastique sur les groupes de décomposition (et tu vois bien que j'ai lu). J'attache une preuve de Stickelberger écrite il a longtemps pour les petit(e)s (j'en fais des tonnes comme d'habitude).

Je vais essayer de faire le point sur le papier de K. Smith. On va remonter à l'époque de Gauss, à une époque moins encombrée (point de Deligne-Serre).

$\def\Cl{\text{Cl}}\def\Leg#1#2{\left({#1 \over #2}\right)}\def\p{\mathfrak p}$Ici, je reviens en arrière, d'une part à l'époque de Gauss, d'autre part à l'époque de Van Der Blij (1952). Je rapporte une partie du papier de Karen Smith http://math.oregonstate.edu/~swisherh/KarenSmith.pdf et des pages 42-43 de Don Zagier in https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/978-3-540-74119-0_1/fulltext.pdf. Mais volontairement, je ne vais pas parler de L-série, de représentations galoisiennes ...etc.. Un meilleur titre aurait été ``Manifestation concrète en théorie des nombres des formes modulaires de poids 1'' ou un truc comme cela. Il ne sera même pas question du polynôme $X^3 - X - 1$ de discriminant $-23$. Ainsi, j'espère y voir plus clair.

A la base, le discriminant quadratique (fondamental) $D = -23$, $K = \Q(\sqrt {-23})$ et les 3 formes quadratiques réduites de discriminant $-23$. C'est l'époque de Gauss :
$$
q_0 = (1, 1, 6) = x^2 + xy + 6y^2, \qquad q_1 = (2, 1, 3) = 2x^2 + xy + 3y^2, \qquad \overline {q_1} = (2, -1, 3)
$$
Il est question de représenter un nombre premier $p$ par $q_0$ ou $q_1$ (pareil que $\overline {q_1}$). Introduction des $\Theta$-séries en $q$
$$
\Theta_0 = \Theta_{q_0} = \sum_{(x,y) \in \Z\times\Z} q^{q_0(x,y)} = \sum_{n \ge 0} r(q_0,n) q^n
\qquad\qquad
\Theta_1 = \Theta_{q_1} = \sum_{(x,y) \in \Z\times\Z} q^{q_1(x,y)} = \sum_{n \ge 0} r(q_1,n) q^n
$$
Ici $r(Q,n)$ désigne le nombre de représentations de $n$ par la forme quadratique binaire $Q = Q(x,y)$. Si $n \ge 1$, c'est un nombre pair because l'involution $(x,y) \leftrightarrow (-x,-y)$. Leur coefficient en $q^0$ est $1$. On les voit ci-dessous :

[color=#000000]
> D := -23 ;
> QD := BinaryQuadraticForms(D) ;
> ClD := ReducedForms(QD) ;
> ClD ;
[ <1,1,6>, <2,1,3>, <2,-1,3> ]
> q0 := ClD[1] ;  q1 := ClD[2] ;
> precision := 10^2 ;
> T0 := ThetaSeries(q0,precision) ;                                                                                                     
> T0 ;                             
1 + 2*q + 2*q^4 + 4*q^6 + 4*q^8 + 2*q^9 + 4*q^12 + 2*q^16 + 4*q^18 + 2*q^23 + 4*q^24 + 2*q^25 + 4*q^26 + 4*q^27 + 4*q^32 + 6*q^36 + 
    4*q^39 + 8*q^48 + 2*q^49 + 4*q^52 + 4*q^54 + 4*q^58 + 4*q^59 + 4*q^62 + 6*q^64 + 8*q^72 + 4*q^78 + 2*q^81 + 4*q^82 + 4*q^87 + 2*q^92 
    + 4*q^93 + 4*q^94 + 8*q^96 + 2*q^100 + O(q^101)
> T1 := ThetaSeries(q1,precision) ;
> T1 ;
1 + 2*q^2 + 2*q^3 + 2*q^4 + 2*q^6 + 2*q^8 + 2*q^9 + 4*q^12 + 2*q^13 + 4*q^16 + 4*q^18 + 6*q^24 + 2*q^26 + 2*q^27 + 2*q^29 + 2*q^31 + 
    4*q^32 + 6*q^36 + 2*q^39 + 2*q^41 + 2*q^46 + 2*q^47 + 6*q^48 + 2*q^50 + 4*q^52 + 6*q^54 + 2*q^58 + 2*q^62 + 4*q^64 + 2*q^69 + 2*q^71 
    + 8*q^72 + 2*q^73 + 2*q^75 + 6*q^78 + 4*q^81 + 2*q^82 + 2*q^87 + 2*q^92 + 2*q^93 + 2*q^94 + 8*q^96 + 2*q^98 + 2*q^100 + O(q^101)
[/color]

I. Gauss savait en particulier montrer le résultat suivant où $\nu_K(m)$ désigne le nombre d'idéaux de norme $m$ de l'anneau des entiers de $K$ :
$$
{1 \over 2} (\Theta_0 + 2\Theta_1) = {3 \over 2} + \sum_{n \ge 1} \nu_K(n) q^n = {3 \over 2} + \sum_{n \ge 1} \Bigl(\sum_{d \mid n} \chi_{-23}(d)\Bigr) \ q^n
$$
Cas particulier du cas général (Gauss) pour un discriminant quadratique fondamental $D$, $K = \Q(\sqrt D)$, en notant $w(D)$ le nombre d'unités de l'anneau des entiers de $K$ (la plupart du temps égal à 2), et $h(D)$ le cardinal de $\Cl(D)$, i.e. nombre de classes d'idéaux de $K$ :
$$
{1 \over w(D)} \sum_{Q \in \Cl(D)} \Theta_Q
= {h(D) \over w(D)} + \sum_{n \ge 1} \nu_K(n) q^n = {h(D) \over w(D)} + \sum_{n \ge 1} \Bigl(\sum_{d \mid n} \chi_{D}(d)\Bigr) \ q^n
$$
Dans le cas particulier de $D = -23$, cela dit donc que $r(q_0,n) + 2r(q_1,n) = 2 \sum_{d \mid n} \chi_{-23}(d)$. En particulier pour $n=p$ premier, en utilisant $\chi_{-23}(d) = \Leg{23}{p}$ (loi de réciprocité quadratique)
$$
\fbox {$r(q_0,p) + 2r(q_1,p) = 2 \left( 1 + \Leg{p}{23} \right)$}
$$
II. L'époque de Van Der Blij. Celui-ci introduit la série (c'est une forme modulaire de poids 1 pour ... mais pas utile de glacer le sang tout de suite)
$$
S = \eta(q) \eta(q^{23}) = q \prod_{n \ge 1} (1-q^n) (1 - q^{23n}) = \sum_{n \ge 1} a_n q^n = q - q^2 - q^3 + \cdots \qquad \qquad
\hbox {(ici définition des coefficients $a_n$)}
$$
et fournit une preuve DIRECTE de $S = {1 \over 2} (\Theta_0 - \Theta_1) $ i.e. de
$$
r(q_0,n) - r(q_1,n) = 2a_n \qquad \hbox {en particulier} \qquad \fbox {$r(q_0,p) - r(q_1,p) = 2a_p$}
$$

[color=#000000]
> Qq<q> := PowerSeriesRing(RationalField()) ;
> AssertAttribute(Qq, "Precision", precision) ;
> S := Qq ! (DedekindEta(q) * DedekindEta(q^23)) ;          
> S ;
q - q^2 - q^3 + q^6 + q^8 - q^13 - q^16 + q^23 - q^24 + q^25 + q^26 + q^27 - q^29 - q^31 + q^39 - q^41 - q^46 - q^47 + 
    q^48 + q^49 - q^50 - q^54 + q^58 + 2*q^59 + q^62 + q^64 - q^69 - q^71 - q^73 - q^75 - q^78 - q^81 + q^82 + q^87 + 
    q^93 + q^94 - q^98 + 2*q^101 + O(q^102)
> S - 1/2 * (T0-T1) ;
O(q^101)
[/color]

III. Impact en théorie des nombres. A gauche le lien entre $a_p$ et la représentation de $p$ par les formes $q_0, q_1$ et à droite la factorisation de $p$ dans l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt {-23})$
$$
a_p = \cases {
1 &si $p=23$ \cr
0 &si $\Leg{p}{23} = -1$ \cr
2 &si $\Leg{p}{23} = 1$ et $p$ est représenté par $q_0$ \cr
-1 &si $\Leg{p}{23} = 1$ et $p$ est représenté par $q_1$ \cr
}
\qquad\qquad
p = \cases {
\p^2 &si $a_p = 1$ i.e. $p=23$ \cr
\p \text { principal} &si $a_p = 0$ \cr
\p\overline\p\quad \p \text { principal} &si $a_p = 2$\cr
\p\overline \p\quad \p \text{ non principal} &si $a_p = -1$\cr
}
$$
Cela sort d'où ? On regarde les deux encadrés, on prend un bout de papier et un stylo, et on considère deux entiers pairs $r_0, r_1 \ge 0$ vérifiant $r_0 + 2r_1= 2 \left( 1 + \Leg{p}{23} \right)$ et $r_0 - r_1 = 2a_p$. On examine le cas $p=23$, puis $p$ non carré modulo 23 et enfin $p$ carré modulo 23. Et on obtient le résultat de gauche puis ensuite celui de droite.

@moduloP
Tu préférerais $2S = \Theta_0 - \Theta_1$ parce que tu as peur des fractions comme ${1 \over 2}$ ? J'étais pareil au début mais je m'y suis fait.

Oui, pas vraiment de modulaire pour l'instant. Ni de corps de classes. Mais c'est cela que j'aime. Si on commence par la totale (que d'ailleurs on a du mal à comprendre, ce qui veut dire en clair, on est quand même un tantinet perdu, nous autres pauvres petits), du genre pointer l'article de Deligne & Serre, c'est catastrophe assurée.

Ce qui m'étonne quand même c'est pourquoi Don Zagier s'exprime comme il s'exprime en bas de la page 43 (les 3 lignes du bas). On peut penser que Hecke avait déjà relié le modulaire et la théorie des nombres. Et après tout le théorème de Jacobi qui donne le nombre de représentations d'un entier comme somme de 4 carrés, on peut le voir comme un lien entre le modulaire et la théorie des nombres.

Bref. En ce qui concerne $D = -23$, il va quand même falloir faire apparaître un jour le polynôme $X^3 - X - 1$ et les représentations galoisiennes. Sans s'y perdre. J'ai une petite question pour toi à ce propos. Je peux ?? Sans agitation.

PS : j'ai traité un autre cas analogue à $D = -23$ à savoir $D = -44$. Sans polynôme. Peut-être qu'on l'avait fait mais c'était un tel merd.er dans le passé. Je ne veux pas recommencer.

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\Gal{\text{Gal}}$@moduloP
Je suis d'accord. Quant à ton dernier post, cela vient de $\Hom_\Q(E,L) = \Hom_\Q(E, \widehat E)$.

Et dans l'histoire $E = \Q(x)$, avec $x$ racine de $X^3 - X - 1$, on va bien pouvoir dire que $\zeta_E = L_\rho$ où $\rho$, définie sur $\Gal(E^{\rm gal}/\Q) \simeq S_3$, est la représentation permutationnelle naturelle attachée à $E/\Q$. Elle est de dimension $3 = [E:\Q]$, on va pouvoir la décomposer ...etc. Je n'ai pas l'impression que c'est cela que tu faisais l'autre jour. Ici, cela a l'air plus simple. Je me fais des idées parce que je n'écris pas tout ? Ou bien, je commence déjà à me mélanger les pinceaux ?

Pentagonal Number Theorem (Euler !)
$$
\prod_{n \ge 1} (1- q^n) = \sum_{m \in \Z} (-1)^m q^{m(3m + 1) \over 2}
$$
Cela ne se laisse pas passer

[color=#000000]
> M := 10 ;
> N := ExactQuotient(M*(3*M+1), 2) ;
> N ;
155
> 
> Qq<q> := PuiseuxSeriesRing(RationalField()) ;
> AssertAttribute(Qq, "Precision", N) ;
> Euler := &+[(-1)^m * q^ExactQuotient(m*(3*m+1), 2) : m in [-M..M]] ;
> Euler + O(q^70) ;
1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^12 - q^15 + q^22 + q^26 - q^35 - q^40 + q^51 + q^57 + O(q^70)
> 
> P := DedekindEta(q) / q^(1/24) ;                                    
> P + O(q^70) ;
1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^12 - q^15 + q^22 + q^26 - q^35 - q^40 + q^51 + q^57 + O(q^70)
> Euler - P ;
O(q^156)
[/color]

Histoire : pas si clair, les dates. Serre dans Modular Forms of weight one and Galois representations (1977, transmis par Nonoche), donne l'exemple du discriminant $-23$ page 242. Avant, page 241, section 7.3, il parle de $\Theta$-séries ...etc.. avec une référence à Hecke. Mais dans la bibliographie, je ne vois pas de date à Hecke, sauf une où l'on voit 1970. Serre reprendra l'exemple de $X^3 - X-1$ dans http://www.ams.org/journals/bull/2003-40-04/S0273-0979-03-00992-3/S0273-0979-03-00992-3.pdf dont on a parlé 20 fois, et dans la note 5.3, il y a le fameux ``Since $S_3$ is a dihedral group, Hecke’s theory applies and shows ..'' avec lequel je vous ai rabattu les oreilles 10 fois. Mais Hecke ne figure pas dans la biblio de ce papier.

@moduloP
T'es gentil mais je me rends compte que je suis loin d'avoir terminé quoi que ce soit. En décomposant la représentation permutationnelle $\rho$ de dimension 3 en $\rho = \varepsilon \oplus \rho_2$ (avec des notations qui se devinent, je pense), on obtient $\zeta_{E} = \zeta_\Q \times L_{\rho_2}$. Et ensuite, je suis comme un c.n (pour l'instant).

Tandis que ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745780,1745948#msg-1745948 fait une liste de 6 points précis à sécuriser.

@ModuloP
Merci, merci. Je vais de ce pas acheter une bouteille de champagne et un cadre pour immortaliser la chose.

@Paul
Pas encore. On évite de faire débarquer trop d'acteurs d'un coup pour éviter que cela nous pète à la gueule. Cependant, dans l'exposé ``élémentaire'' de K. Smith http://math.oregonstate.edu/~swisherh/KarenSmith.pdf mentionné à plusieurs reprises, il y a des pointeurs très précis sur des points qu'elle ne prend pas en charge (et également sur ceux qu'elle prend en charge). Je pense ainsi à la page 32 dans laquelle elle justifie que $\eta(q)\eta(q^{23})$ est un habitant de $S_1(\Gamma_0(23), \chi_{-23})$. Justifie est un peu excessif car elle pointe l'ouvrage de Ono (The web of modularity: arithmetic of the coefficients of modular forms and q-series, 2004). Je ne le possède pas. Et aussi l'ouvrage de F. Diamond and J.M. Shurman. A first course in modular forms. Springer Verlag, 2005.
Chez K. Smith, il y a une coquille dans son lemma 4.4 en bas de cette page.

Tu connais un peu ces choses là (formes quadratiques et formes modulaires de poids 1) ?

A propos d'aller doucement. J'avais été très étonné (au début) que K. Conrad (qui connait bien son boulot) consacre 15 pages à l'arithmétique de $X^3 - 2$. Je ne pointe pas pour éviter la surenchère. Mais une fois que l'on entre dans sa note (presque self contained mais pas tout-à-fait), on comprend que 15 pages ce n'est pas inutile.