Deligne-Serre pour les enfants ?

$\def\Serie{q\text{-Série}}\def\GL{\text{GL}}$@moduloP
J'ai vu ton post. Celui du Dimanche matin. Je l'ai tiré (mais pas encadré). Je me suis posé la question : mais ``que veut-on faire'' ? Je crois qu'on ne le saura jamais. Comme j'ai vu que tu utilisais ``moyen plus élémentaire sans trop parler ...'', je me suis dit que c'était peut-être plus facile de spécifier ce que l'on ne voulait pas faire. Même pas sûr. Ci-dessous, je raconte 2 ou 3 choses (pas du tout nouvelles) en me basant sur ton autre post (celui que j'ai fait encadrer). Je conserve tes notations et je note $L = KF = \Q(\sqrt {-23}, x)$ où $x$ est une racine de $X^3 - X - 1$. Du point de vue théorie des corps, on a une extension galoisienne $L/\Q$ dont je note $G \simeq S_3$ le groupe de Galois :
$$
\xymatrix {
L\ar@/_2cm/@{-}[dd]_{G\simeq S_3} \ar@{-}[d]^{C_3} \\
K = \Q(\sqrt {-23})\ar@{-}[d]^2 \\
\Q \\
}
$$
Histoire d'être en adéquation avec le titre du fil, je note $\rho : G \to \GL_2(\Z) \subset \GL_2(\C)$ l'unique représentation irréductible de $G$ de dimension 2. Et on a vu se pointer une forme modulaire noté $S$ (dans mon post rapportant Karen Smith et Van Der Blij) que j'assimile à une série formelle de $\Zq$
$$
S = \sum_{n \ge 1} a_nq^n = \eta(q)\eta(q^{23}) = q \prod_{n \ge 1} (1-q^n)(1-q^{23n}) = {1\over 2} (\Theta_{1,1,6} - \Theta_{2,1,3}) =
{1\over 2} (\Theta_{1,1,6} + j \Theta_{2,1,3} + j^2 \Theta_{2,-1,3})
$$
Et $S$ est un habitant de $S_1(\Gamma_0(23), \chi_{-23})$ (forme cuspidale). Et je suppose que l'on n'a pas envie de dire : regardez, c'est merveilleux, on tient une instance concrète de Deligne-Serre qui réside en l'égalité des L-séries à gauche :
$$
\fbox {$L(\rho, s) = L(S,s)$} \qquad\qquad\qquad\qquad \hbox {(que j'écrivais dans le passé $\Serie(L_\rho) = S$)}
$$
Note : je tiens à distinguer $a_nn^{-s}$ versus $a_nq^n$ (je me suis fait reprendre par E. Kani dans un mail, gentiment mais fermement).
Dis moi que l'on n'a pas envie d'écrire seulement l'encadré, n'est ce pas ? Car ce n'est pas trop causant pour nous, enfin pour moi. Et surtout, je trouve que cela ne dit qu'une partie infime du binz. Je me trompe ? Je n'y vois pas la relation entre les $a_p$ et la factorisation de $p$ dans $K$. On ne voit pas non plus, en notant $F = \Q(x)$, et $\nu_F(n)$ le nombre d'idéaux de $\mathcal O_F$ de norme $n$ :
$$
L(\rho,s) = {\zeta_F(s) \over \zeta_\Q(s)} \qquad \qquad \hbox {i.e.} \qquad \nu_F(n) = \sum_{d \mid n} a_d \qquad \hbox {en particulier} \quad \nu_F(p) = 1 + a_p
$$
Et à droite, la retombée concrète réside dans le lien avec le nombre de racines modulo $p$ i.e. $N_p(X^3 - X -1) = 1 + a_p$. On ne voit pas non plus le fait que $L/K$ est le corps des classes de Hilbert. On ne voit pas non plus ... à compléter.

Et avant d'encadrer l'égalité des L-séries, c'est peut-être bon de rappeler des choses du côté de $S$ : pourquoi la suite $(a_n)_{n \ge 1}$ est multiplicative, pourquoi elle possède un système d'Euler facteurs, quel est son $p$-Euler facteur, en quoi c'est lié aux opérateurs de Hecke ....etc... Bref, beaucoup (trop ?) de choses à dire. Fournir des pointeurs précis (comme le fait K. Smith), assurer des bouts de preuve, être bien au courant de ce que l'on a admis ....etc... Tiens mais on dirait que je suis en train de dire ce qui pourrait être envisagé. Contradiction.

Dans ton post du Dimanche matin, tu dis ``j'admets que $\Z[x]$ est l'anneau des entiers de $\Q(x)$''. Ca, je me permets de dire que c'est facile (enfin cela dépend pour qui) : cela vient du fait que le discriminant de $X^3 - X - 1$ est sans facteur carré (c'est $-23$). Rien à voir par exemple avec le fait de vouloir attraper une base intégrale de $L/K$ : ça, c'est une autre paire de manches. Histoire de ne pas mettre tout le monde dans le même panier.

$\def\GL{\text{GL}}$@ModuloP
Moi pareil sauf que parfois cela a était un peu (sic) vite et qu'il n'en reste pas (toujours) grand chose. Et je trouve que de temps en temps, cela serait bien de donner des pointeurs, histoire d'avoir des références vachement précises (utiles pour le calcul justement). Quelques exemples vraiment au pif (il y a probablement plus mieux comme références). Et d'autres points en vrac.

$\bullet$ Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745780,1747836#msg-1747836 (celui dans lequel tu dis que tu fais le guignol), il manque un $\chi$ dans le premier produit eulérien. Je pointe Andrea Ferraguti http://algant.eu/documents/theses/ferraguti.pdf Th 3.3 p. 43 ; ainsi que les références qu'elle pointe elle-même.

$\bullet$ Si $Q = Q(x,y)$ est une forme quadratique de discriminant $D < 0$, alors $\Theta_D$ définit un habitant de $M_1(\Gamma_0(|D|, \chi_D)$. C'est énoncé en clair chez Kanni, prop. 5, The Space of Binary Theta Series https://mast.queensu.ca/~kani/papers/theta.pdf. On trouve parfois des énoncés plus compliqués, probablement dus au fait que l'on introduit le level $N$ de $Q$. Cf par exemple Karen Smith, The Collision of Quadratic Fields, Binary Quadratic Forms ... etc... Th 3.7. Ou bien Don Zagier, Modular Forms of one variable https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/tex/UtrechtLectures/UtBook.pdf, chap. 3

$\bullet$ Je réponds à ta question (qui n'attendait pas de réponse) sur le poids $12 = {23 + 1 \over 2}$ :
$$
\sum_{n \ge 1} a_n q^n := q \prod_{n \ge 1} (1-q^n)(1-q^{23n}) \quad \buildrel {\bmod 23} \over \equiv\quad
q \prod_{n \ge 1} (1-q^n)(1-q^n)^{23} =
q \prod_{n \ge 1} (1-q^n)^{24} := \Delta(q) = \sum_{n \ge 1} \tau(n) q^n
$$
Et donc $\tau(n) \equiv a_n \bmod 23$. Ou encore
$$
\tau(n) \equiv {r_{1,1,6}(n) - r_{2,1,3}(n) \over 2} \bmod 23
$$
Don Zagier en parle dans sa page 43 un peu chargée. Et j'ai l'impression que tu ajoutes au panier. Je crois que cela touche à une représentation galoisienne de l'extension maximale dans $\overline \Q$, non ramifiée en dehors de 23, en dimension 2, à valeurs dans $\GL_2(\Z_{23})$ C'est peut-être un peu tôt, non ?

$\bullet$ Haut de la page 42, D. Zagier https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/978-3-540-74119-0_1/fulltext.pdf. J'ai mieux compris le bout de phrase ``.. is a so-called genus character and one knows that ...'', le coup de $D = D_1D_2$.

$\bullet$ Induction. Cela serait pour moi une bonne chose d'en reparler calmement. Je suis loin d'être clair.

@moduloP Une question indiscrète. Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745780,1747836#msg-1747836, où as tu trouvé la forme modulaire de poids 16 et le polynôme $X^3 + X + 1$ pour le discriminant $-31$ ?

Note : les solutions entières de $4i + 6j = 16$ sont $(i,j) = (4,0)$ et $(i,j) = (1,2)$ si bien que la composante homogène de degré 16 de l'espace des formes modulaires pour le groupe $\Gamma$ est donnée par :
$$
\Q[E_4, E_6]_{16} = \Q \cdot E_4^4 \oplus \Q \cdot E_4E_6^2
$$
On voit facilement que ta forme de poids 16 est $(E_4^4 - E_4E_6^2)/1728$. Cachotier.

$\def\Disc{\text{Disc}}\def\Gal{\text{Gal}}\def\Ifr{\text{Ifr}}\def\calO{\mathcal O}\def\Frob{\text{Frob}}\def\fp{\mathfrak p}\def\Cl{\text{Cl}}\def\PermProj{\text{PermProj}}$
@ModuloP
Je ne comprends pas ta réponse ``Ok avec ton dernier post'' : il me semble que dans mon post visé, je pose des questions. Je ne comprends pas non plus ``on voit bien ce que l'on admet''. A propos de quoi ? Enfin, dans le papier de Serre que tu pointes (On a theorem of Jordan), je ne vois rien à la page 14 concernant $p^{\Delta -1 \over 2}$. Est ce que tu pourrais être plus explicite ? Merci.

Je reviens sur le polynôme $f_6$ de mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745780,1748000#msg-1748000
$$
f_6 = X^6 - 3X^5 + 5X^4 - 5X^3 + 5X^2 - 3X + 1, \qquad\qquad \Disc(f_6) = -23^3
$$
C'est un polynôme ``homographique'' au sens suivant : si $x$ est une racine, il en est de même de $1/x, 1-x, \cdots$ i.e. des 6 homographies qui constituent $\PermProj(0,1,\infty) \simeq S_3$, cf ci-dessous. Pour $1/x$, cela se voit car $f_6$ est réciproque et pour $1-x$, on a $f_6(1-X) = f_6(X)$. Et les deux homographies $1/x = (0,\infty)$ et $1-x = (0,1)$ engendrent $\PermProj(0,1,\infty)$.

[color=#000000]
Z := IntegerRing() ;
ZX<X> := PolynomialRing(Z) ;
F := X^6 - 3*X^5 + 5*X^4 - 5*X^3 + 5*X^2 - 3*X + 1 ;
assert Discriminant(F) eq -23^3 ;
assert Evaluate(F, 1-X) eq F ;
L<x> := NumberField(F) ;
Homographies := [x, 1/x, 1-x, 1/(1-x), (x-1)/x, x/(x-1)] ;
assert &and [Evaluate(F,h) eq 0 : h in Homographies] ;
[/color]

Ce polynôme $f_6$ est irréductible sur $\Q$ parce que ... à compléter. Bref, si $x$ est une racine de $f_6$ et $L = \Q(x)$, alors on a la main sur l'extension galoisienne $L/\Q$ puisqu'elle ``est en homographies''. Par ailleurs, puisque $\Disc(f_6) = 23^2 \times (-23)$, on a $K := \Q(\sqrt {-23}) \subset L$. Cela ne doit pas être difficile d'exprimer $\sqrt {-23}$ comme un polynôme ou fraction rationnelle en $x$ à coefficients dans $\Q$. Par ailleurs, si on utilise la formule de transitivité des discriminants :
$$
\xymatrix {
L\ar@{-}[dd]\ar@{-}[dr]^3 \\
& K = \Q(\sqrt {-23})\ar@{-}[dl] \\
\Q \\
}
$$
on a, en tant qu'idéaux de $\Z$, en notant $I$ l'idéal discriminant de $L/K$ (c'est un idéal de $\calO_K$) :
$$
\Disc(L/\Q) = \Disc(K/\Q)^{[L:K]} \times N_{K/\Q}(I) \qquad\hbox {i.e.} \qquad
23^3 \Z = 23^3 \times N_{K/\Q}(I) \Z
\qquad\hbox {ce qui donne} \qquad I = \calO_K
$$
Et confirme que $L/K$ n'est pas ramifiée.

On a la même chose avec le discriminant $-31$ et le polynôme $X^6 - 3X^5 + 7X^4 - 9X^3 + 7X^2 - 3X + 1$.

Cela m'a rappelé la période avril 2018 et ta note exemple_S3.pdf. SAUF que pour moi, cette histoire n'a jamais été terminée (normal à cause de l'agitation dans tous les sens à cette époque) et le dernier pdf que j'ai dans les mains ne me permet pas d'étudier suffisamment la chose (imprécisions, non dits ...etc..). C'est dommage de passer pas mal de temps sur ... et ne pas finaliser un peu plus. Question : est ce que cela vaut le coup de s'y remettre ?

$\def\Disc{\text{Disc}}\def\Gal{\text{Gal}}\def\Ifr{\text{Ifr}}\def\calO{\mathcal O}\def\Frob{\text{Frob}}\def\fp{\mathfrak p}\def\Cl{\text{Cl}}\def\PermProj{\text{PermProj}}\def\P{\mathbb P}$
@moduloP (suite) Tout s'explique : le polynôme de degré 6, on aurait pu l'inventer nous-mêmes. Il figure en bas de la page 1 de ton exemple_S3.pdf avec un paramètre $t$ :
$$
F_t(X) = (X^3 - X + 1)^ 3 - t X^2(X-1)^2 = X^6 - 3X^5 + (6-t)X^4 + (2t-7)X^3 + (6-t)X^2 - 3X + 1
$$
On a $\Disc_X(F_t) = t^2 \times (4t - 27)^3$. Pour $t = \pm 1$, le facteur $t^2$ n'apporte pas de garbage et on tombe sur les discriminants $-23$ pour $t=1$ et $-31$ pour $t = -1$. Ce polynôme $F_t(X)$ provient de l'étude de la fraction rationnelle :
$$
t = {(x^2 - x + 1)^3 \over x^2 (x-1)^2}
$$
qui provient elle-même du groupe $\PermProj(0,1,\infty)$. Et/ou disons d'un certain revêtement de $\P^1 \to \P^1$, correspondant au revêtement modulaire $X(2) \to X(1)$. Je pense que tu avais eu une sacrée intuition en voulant spécialiser ce binz.
J'ai la dernière version sous les yeux. Au début, c'est un peu près clair mais ensuite, pour moi, cela se barre un peu dans tous les sens (normal, on ne savait pas trop où on allait).

$\def\Cl{\text{Cl}}$@moduloP Toi in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745780,1748466#msg-1748466
Je suppose que tu parles de ton exemple_S3.pdf. Si tu le mets à la poubelle, je ne te parle plus, je décroche le cadre, tu ne viendras pas dans le Poitou ...etc... Pourquoi ? Parce que je l'ai lu et relu, que j'ai considéré certaines spécialisations de $t$ et que ce n'est pas banal.

Exemple : $t = 2$, conduisant à $D := t^2 (4t - 27) = 4 \times (-19) = -76$. J'ai pris cette valeur de $t$ en choisissant d'abord $D$, en ayant cherché dans les tables de Cohen un $D$ tel que $\Cl(D)$ soit d'ordre 3. Je prends ton polynôme de degré 3, à gauche ou plutôt ma version de droite, pareille en plus simple
$$
G_t(W) = (W-1)^3 - t(W-2) \qquad\qquad\qquad G_t(Y) = Y^3 - t(Y-1) =_{\rm ici} Y^3 - 2Y + 2
$$
Comme par hasard (sic), le polynôme de Weber du discriminant $-76$ est
$$
W_{-76}(X) = X^3 - 2X - 2
$$
Ca.d. que $G_{t=2}$ pareil que $W_{-76}$, pareil modulo l'involution sur les polynômes unitaires de degré 3 $G(X) \leftrightarrow -G(-X)$. Donc même corps de rupture.

J'espère que tu as remarqué que $G_1(Y)$ c'est pareil que $X^3 - X - 1$ (discriminant $-23$). Et que $G_{-1}(Y)$ c'est pareil que $X^3 + X + 1$ (discriminant $-31$). Et même topo pour les polynômes de Weber.

@ModuloP Pour plus tard, histoire de changer un peu. Est ce que tu as une idée pour illustrer le th 1 (Weil-Langands) page 206 du papier de Serre, Modular forms of weight one and Galois representations (1977). Quelque chose qui sorte un peu de l'ordinaire.
Et pendant que nous y sommes, ce qui vient dans la section 7 (Dihedral Representations) en traduisant en clair (pour mézigue, pauvre naze) un bout de la page 238; en particulier le passage que j'attache. Plus tard, rien ne presse. Merci.

$\def\Disc{\text{Disc}}\def\calO{\mathcal O}$@moduloP
Il faut aller DOUCEMENT. Je vais lire ce que tu m'as raconté sur l'application d'Artin. Et plus tard pour ton dernier post.

Cela serait bien de mettre à jour la section ``Représentations Galoisiennes de groupe $D_3$'', pages 4,5 de ta note exemple_S3.pdf

Il y a une erreur en haut de la page 5 sur le coup de $f = |t|$ : le conducteur $f$ est donné, dans le contexte de cette note, par $\Disc(\calO_E/\Q) = f^2 \Disc(\calO_K/\Q)$ où $E = \Q(w)$ est le corps cubique défini par une racine $w$ de $G$ et $K$ le corps quadratique défini par une racine de $H$ (j'ai pris tes notations).

Il ne faut pas confondre le discriminant de $G$ (qui peut avoir du garbage) et le discrimant de $\calO_E$.

Je prends l'exemple de $D = -83$. Là, c'est ok que le conducteur $f$, c'est $-t = 14$.

[color=#000000]
// Discriminant fondamental D = -83
D := -83 ;  t := -14 ;  assert D eq 4*t - 27 ;
G := X^3 - t*(X-1) ;
assert Discriminant(G) eq t^2 * D ;
E<w> := NumberField(G) ;
OE := MaximalOrder(E) ;
assert Discriminant(OE) eq Discriminant(G) ;
f := -t ;
assert Discriminant(OE) eq f^2 * D ;
[/color]

Mais sur l'exemple de $D = -107$, ce n'est PAS vrai que le conducteur $f$, c'est $-t = 20$ : c'est la moitié

[color=#000000]
// Discriminant fondamental D = -107
D := -107 ;  t := -20 ;  assert D eq 4*t - 27 ;
G := X^3 - t*(X-1) ;
assert Discriminant(G) eq t^2 * D ;
E<w> := NumberField(G) ;
OE := MaximalOrder(E) ;
f := 10 ; // et pas f = |t|
assert Discriminant(OE) eq f^2 * D ;
[/color]

Juste cette petite section (bas page 4, haut page 5), on peut s'occuper de la mettre à jour. Je peux t'indiquer des corrections à apporter. Tenir compte également de ce post.

$\def\Cl{\text{Cl}}$@moduloP A propos de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745780,1748610#msg-1748610

Tu vas dire que je suis ch.ant, mais cela serait bien d'avoir des posts un peu près self-contained. Comment veux tu que je devine que ton polynôme de degré 3, c'est $(X-1)^3 - t(X-2)$ avec $t = -8$ et que $D = -59$, c'est $4t - 27$ ? Heureusement, j'avais considéré ce discriminant fondamental $D = -59$ hier. Le conducteur est $f = 1$ (et non pas $|t|$, encore un exemple ce ce que j'ai dit dans mon dernier post) et on tient donc via le polynôme $F_{t = -8}$ (de degré 6) une description homographique de $L/\Q$ où $L$ est le corps engendré par une racine de $F_{t=-8}$ et qui est tel que $L$ est le corps des classes de Hilbert de $\Q(\sqrt {D}) = \Q(\sqrt {-59})$.
Et il faut aussi deviner le poids $30 = {1 + 59 \over 2}$.

J'ai fini par voir, à la page 14 de Serre (On a theorem of Jordan) 6 lignes avant la fin le coup du $142 = {283 + 1 \over 2}$. A mon tour, je prends un petit exemple, ce qui va avoir tendance à ce que cela se barre dans tous les sens. J'ai pris l'exemple modeste du discriminant fondamental $D = -19$ de sorte que ${1 + |D] \over 2} = 10$. On a $M_{10}(\Gamma) = \Q[E_4,E_6]_{10} = \Q \cdot E_4E_6$ car la seule solution de $4i + 6j = 10$ est $(i,j) = (1,1)$. Voici les séries d'Eisenstein $E_4, E_6$ (pas 36 présentations ...)
$$
E_4 = 1+ 240 \sum_{n \ge 1} {n^3 q^n \over 1-q^n} = 1 + 240 \sum_{n \ge 1} \Bigl(\sum_{d \mid n} d^3\Bigr) q^n
\qquad\qquad\qquad
E_6 = 1- 504 \sum_{n \ge 1} {n^5 q^n \over 1-q^n} = 1 - 504 \sum_{n \ge 1} \Bigl(\sum_{d \mid n} d^5\Bigr) q^n
$$

[color=#000000]
> Qq<q> := PowerSeriesRing(Q) where Q is RationalField() ;
> precision := 50 ;
> AssertAttribute(Qq, "Precision", precision) ;
> E4 := Qq!Eisenstein(4,q) ;                              
> E4 + O(q^10) ;
1 + 240*q + 2160*q^2 + 6720*q^3 + 17520*q^4 + 30240*q^5 + 60480*q^6 + 82560*q^7 + 140400*q^8 + 181680*q^9 + O(q^10)
> E6 := Qq!Eisenstein(6,q) ;
> E6 + O(q^10) ;
1 - 504*q - 16632*q^2 - 122976*q^3 - 532728*q^4 - 1575504*q^5 - 4058208*q^6 - 8471232*q^7 - 17047800*q^8 - 29883672*q^9 + O(q^10)
[/color]

Maintenant le discriminant $D = -19$. Comme $\Z\left[ {1 \pm \sqrt {-19} \over 2} \right]$ est principal, une seule forme réduite $q_0 = (1,1,5) = x^2 + xy + 5y^2$ de discriminant $-19$. Et on va constater le miracle
$$
E_4E_6 \equiv \Theta_{1,1,5} \bmod 19
$$
Est ce que tu as vu un énoncé clair quelque part ? (à part les deux lignes de Serre en bas de la page 14). Est ce que c'est le bon moment pour se lancer dans les congruences sur les formes modulaires, ou bien c'est juste pour s'amuser (ce que je fais ici) ?

[color=#000000]
> q0 := BinaryQuadraticForms(-19) ! [1,1,5] ;
> Tq0 := Qq ! ThetaSeries(q0,precision) ;
> Tq0 + O(q^20) ;
1 + 2*q + 2*q^4 + 4*q^5 + 4*q^7 + 2*q^9 + 4*q^11 + 2*q^16 + 4*q^17 + 2*q^19 + O(q^20)
> Reductions(E4*E6 - Tq0, 19) ;
O(q^50)
[/color]

C'est quand même dingue, le monde modulaire. Et puis pendant que nous y sommes, un petit tour chez $M_1(\Gamma_0(19), \chi_{-19}))$ où l'on retrouve $\Theta_{1,1,5}$.

[color=#000000]
> ChiMinus19 := KroneckerCharacter(-19) ;
> M19 := ModularForms(ChiMinus19, 1) ;
> M19 ;
Space of modular forms on Gamma_1(19) with character $.1, weight 1, over Integer Ring.
> Dimension(M19) ;
1
> E19 := EisensteinSubspace(M19) ;    
> e19 := Basis(E19)[1] ;
> qExpansion(e19, 20) ;    
1 + 2*q + 2*q^4 + 4*q^5 + 4*q^7 + 2*q^9 + 4*q^11 + 2*q^16 + 4*q^17 + 2*q^19 + O(q^20)
> qExpansion(e19, precision) - Tq0 ;
O(t^50)
[/color]

$\def\Disc{\text{Disc}}$@ModuloP
Suite à ta question 1 de ton post précédent. En définissant $f \ge 1$ par $\Disc(E/\Q) = f^2 \Disc(K/\Q)$ (dans le contexte untel, $K$ est le corps quadratique, $E$ l'extension de degré 3 ....etc..), on obtient $f$ comme conducteur de ....etc... Je crois comprendre que c'est cela ta question.

Je t'attache une mise à jour de mon Fuhrerdiskriminantenproduktformel.pdf. Il paraît que l'on dit la Führerdiskriminantenproduktformel, en parlant d'une certaine égalité (il y en a 36). Dans cette note, le contexte est précisé à la page 1. Je viens d'y ajouter un bonus $\Disc(E^{\rm gal}/\Q) = f^4 \Disc(K/\Q)^3$. A ce propos tout à l'heure, j'ai failli avoir une attaque à propos d'un signe quelque part (mais c'était rien, je me mélangeais les pinceaux entre $D$ et $-D$).

Pour les discriminants, il faut faire vachement gaffe aux égalités entre nombres entiers et aux égalités entre idéaux. Tu verras que la note n'est pas complètement self-contained. Il faut savoir ce qu'est le conducteur d'une représentation galoisienne. Ne pas rêver, il faudrait se plonger dans Corps Locaux de Serre. Un moyen de contourner c'est de regarder ce que fait K. Conrad dans $X^3 - 2$. Tout cela est indiqué dans la note.

Et puis, il ne faut pas avoir peur de jongler avec plusieurs discriminants (dans l'histoire, il y a 3 extensions de $\Q$ imbriquées). Tu risques d'avoir la trouille mais il ne faut pas rigoler avec ces choses là. Les égalités discriminantales doivent être IMPECCABLES ainsi que les conducteurs... pas quelque chose d'approximatif.

Est ce que la note répond à ta question ?

PS : plus tard, des éléments de mise à jour de ta petite section dans exemple_S3.pdf

$\def\Cond{\text{Cond}}\def\Disc{\text{Disc}}\def\calO{\mathcal O}\def\Gal{\text{Gal}}$J'essaie de répondre à une autre de tes questions dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745780,1748646#msg-1748646

$\bullet$ Soit $\Q \subset E \subset L$ où $L/\Q$ est galoisienne. On peut par exemple prendre pour $L$ la fermeture galoisienne du corps de nombres $E$, mais pas obligé grâce à l'inflation (c'est toi qui m'a appris ou confirmé cela). Cela fait naître une représentation permutationnelle $\rho$ de $G = \Gal(L/\Q)$ en degré $[E : \Q]$. Alors :
$$
\Cond(\rho) = \Cond(\zeta_E) = |\Disc(\calO_E)| \qquad\qquad (\star)
$$
Pourquoi ? Je n'en sais rien vu que je ne sais pas ce qu'est le conducteur d'une L-série ; et justement, les deux conducteurs à gauche sont des conducteurs de L-série : $\Cond(\rho)$, c'est le conducteur de $L_\rho$, ce qui nous fait une belle jambe ; et $\zeta_E$ c'est la série de Dedekind de $E$.

Comment je le sais ? Je l'ai vu quelque part à une époque mais je ne sais plus où. Si tu mets la main dessus, fais moi signe. Bien entendu, je me suis empressé, à chaque fois que j'utilisais un des membres de $(\star)$, de vérifier qu'il était bien égal à l'autre.

$\bullet$ En ce qui concerne la condition (A), celle qui figure en haut de la page 196 de Serre de Modular forms of weight 1 ...etc... (from Nonoche), effectivement, je crois que l'on peut s'asseoir dessus. Elle est pas belle la vie ? Serre, en bas de la p. 195 parle de conjecture d'Artin. Et comme déjà dit, je crois que Artin est résolu dans ce cas particulier si je comprends bien Andrea Ferraguti, en bas de la page 48 in http://algant.eu/documents/theses/ferraguti.pdf

Edit J'ai corrigé en introduisant une valeur absolue sur le discrimant. Par ailleurs, on sait bien que $L_\rho = \zeta_E$ du moins lorsque $L = \widehat E$ (fermeture galoisienne) et donc aussi, par inflation, pour $L/\Q$ galoisienne contenant $E$.

@moduloP Oui, il y a des évaluations de $t$ qui restent mystérieuses. Mais déjà disposer de quelques bons petits exemples, cela ne peut pas faire de mal (je pense à $t = \pm 1$). De mon côté, j'ai vu pour certains $t$, des relations entre ton $G_t$ et les polynômes de Weber mais c'est loin d'être clair. Je t'en reparlerai plus tard.

Du coup, je reviens en arrière en couchant des fonctions modulaires (je dis bien des fonctions i.e. poids $0$) qui vivent dans le corps $\Q(\lambda)$ où $\lambda$ est ``la'' coordonnée classique pour la courbe $X(2)$. Tu peux considérer que $\lambda$ est une indéterminée. Je mets les relations exactes car on ne peut pas faire autrement puisque cela vient du demi plan de Poincaré. Tandis que toi, tu as déplacé la ramification.
$$
256 = 2^8, \ 1728 = 12^3, \quad j = 1728 J, \quad j_{02} = {\Delta(q) \over \Delta(q^2)}, \quad
j = {(j_{02} + 256)^3 \over j_{02}^2} = 256 {(\lambda^2 - \lambda + 1)^3 \over \lambda^2(\lambda-1)^2}, \quad
J = {4 \over 27} {(\lambda^2 - \lambda + 1)^3 \over \lambda^2(\lambda-1)^2}, \quad
$$
Sorry, il y a de la redondance. Ce qui est important c'est $j_{02}$ (c'est une coordonnée pour $X_0(2)$) et la fraction rationnelle de hauteur $3$ qui exprime $j$ à l'aide de $j_{02}$. Tu peux comparer avec le traitement algébrique que tu as fait dans ton exemple_S3.pdf. Il me semble que la notation $j_{02}$ est de mézigue, pas sûr.

Ton polynôme $G_t$ de degré 3 ($t$ jouant le rôle de $j$ à une constante près), provient de ton choix de $w = x + 1/x$, $x$ jouant le rôle de $\lambda$. J'espère que ce n'est pas trop nébuleux.

Pour l'instant, j'ai laissé faire la nature modulaire mais il faut que je continue à faire des correspondances. Ce qui fait que pour l'instant, je dispose d'un autre polynôme à un paramètre $t$, que j'ai bêtement nommé myG ci-dessous.
$$
\text{myG}_t(Z) = (Z + 256)^3 - t\ Z^2 \qquad\qquad \hbox {(j'ai mis $Z$ pour éviter les conflits, je crois que $Z$ pas utilisé chez toi)}
$$
Je suppose que mon $\text{myG}_t$, c'est le même que ton $G_t$ modulo une homographie à trouver (une en haut, une en bas ??). Tu vois en tout cas qu'il a même type de ramification car son discriminant est $2^{26} t^2 (t - 1728)$, qui joue le rôle de ton $t^2 (4t -27)$, sauf que mon $t$, c'est vraiment $j$. J'espère que ci-dessous, c'est lisible.

[color=#000000]
> myG := (Z + 256)^3 - t*Z^2 ;
> assert Discriminant(myG) eq 2^26 * t^2 * (t - 1728) ;
> 
> Qq<q> := LaurentSeriesRing(Q) ;
> precision := 10^2 ;
> AssertAttribute(Qq, "Precision", precision) ;

> j := Qq !jInvariant(q) ;
> j + O(q^6) ;
q^-1 + 744 + 196884*q + 21493760*q^2 + 864299970*q^3 + 20245856256*q^4 + 333202640600*q^5 + O(q^6)
> j02 := Delta(q) / Delta(q^2) ;
> j02 + O(q^6) ;
q^-1 - 24 + 276*q - 2048*q^2 + 11202*q^3 - 49152*q^4 + 184024*q^5 + O(q^6)
> // j = (j02 + 256)^3 / j02^2 ;
> j - (j02 + 256)^3 / j02^2 ;
O(q^99)
> 
> // z=j02 est donc racine de myG(Z) := (Z + 256)^3 - j*Z^2 i.e. (j02 + 256)^3 - j*j02^2  = 0
> LaurentSeriesEvaluation(myG, j, j02) ;
O(q^97)
[/color]

$\def\HH{\mathbb H}\def\CC{\mathbb C}$Ne t'inquiètes surtout pas pour $j_{02}$. Toi, page 1 de ta note, tu as une indéterminée $x$ et une fraction rationnelle $t$ de $x$. Je t'installe à gauche et moi à droite :
$$
t = {(x^2 - x + 1)^3 \over x^2(x-1)^2} \qquad\qquad \qquad
j = 256 {(\lambda^2 - \lambda + 1)^3 \over \lambda^2(\lambda-1)^2}
$$
Je suis taquin en fin de semaine : j'ai envie de noter $\lambda$ l'indéterminée et $j$ la fraction rationnelle en $\lambda$. Avec un petit facteur 256 parce que j'en ai envie (en plus je suis capricieux). Et donc toi et moi, c'est kif-kif.

Sauf que c'est pas tout-à-fait vrai : $\lambda$ n'est pas qu'une indéterminée. C'est une ``vraie'' fonction $\lambda : \HH \to \CC$. En voici le développement en $q = e^{2i\pi\tau}$ ou plutôt en $q^{1/2} = e^{i\pi\tau}$.

[color=#000000]
> Lambda + O(q^6) ;
-1/16*q^(-1/2) + 1/2 - 5/4*q^(1/2) + 31/8*q^(3/2) - 27/2*q^(5/2) + 641/16*q^(7/2) - 409/4*q^(9/2) + 1889/8*q^(11/2) + O(q^6)
[/color]

Et puis voilà pourquoi j'ai introduit 256

[color=#000000]
 256 * (Lambda^2 - Lambda + 1)^3 / (Lambda^2 * (Lambda-1)^2)  + O(q^6) ;
q^-1 + 744 + 196884*q + 21493760*q^2 + 864299970*q^3 + 20245856256*q^4 + 333202640600*q^5 + O(q^6)
[/color]

Ensuite, toi tu as considéré d'autres fractions rationnelles en $x$. Par exemple, $w := x + 1/x$, de hauteur 2 en $x$, car elle est invariante par un certain sous-groupe d'ordre 2. Au fait, des fractions de hauteur 2 de cette nature, il y en a 3 car $S_3$ contient 3 transpositions.

Et de mon côté, j'en ai une qui a le nom $j_{02}$ (tu n'as pas peur des noms quand même, c'est tout aussi joli que $w$). Sauf que $j_{02}$, elle vient également du demi-plan de Poincaré. Et j'ai envie de faire le raccord avec toi. Peut-être que $j_{0,2}$ c'est une homographie de ta $w$. Ou peut-être des deux autres fractions rationnelles de hauteur 2.

Damned, j'ai oublié de te présenter $j_{02}$ : mille excuses, $j_{02}$ c'est $2^8 \lambda (\lambda - 1)$. C'est de hauteur 2 en $\lambda$. Comme ta $w$ est de hauteur $2$ en ton $x$.

[color=#000000]
> j02 - 2^8 * Lambda * (Lambda - 1) ;
O(q^(99/2))
[/color]

Pourquoi je veux faire le raccord ? Polynômes de Weber qui fournissent les ring class field des anneaux quadratiques imaginaires.

Oui, c'est cela. En ce qui concerne ta dernière ligne, cela serait préférable de dire paramètre au lieu de variable.

Ci-dessous, je prends tes notations et je calcule le polynôme minimal (de degré 3) de chaque invariant par les 3 involutions de $\text{PermProj}(0,1,\infty)$. Une légère variante entre ces 3 polynômes de degré 3 mais même discriminant $t^2 (4t-27)$.

Tu reconnaîtras ton polynôme que j'ai noté G1 parce que l'involution dont il est issu est $(0,\infty) = x \mapsto1/x$ qui fixe 1.

[color=#000000]
F := (X^2 - X + 1)^3 - t * X^2 * (X-1)^2 ;
A<x> := QtX / ideal <QtX | F> ;

// Les 3 involutions de PermProj{0, 1, oo}
// x -> 1/x = (0,oo) [[qui fixe 1]]. Invariant : x + 1/x
G1 := MinimalPolynomial(x + 1/x) ;
assert G1 eq (X-1)^3 - t*(X-2) ;
assert Discriminant(G1) eq t^2 * (4*t-27) ;

// x -> 1-x = (0,1) [[qui fixe oo]]. Invariant : x*(1-x)
Goo := MinimalPolynomial(x*(1-x)) ;
assert Goo eq (X-1)^3 + t*X^2 ;
assert Discriminant(Goo) eq t^2 * (4*t-27) ;

// x -> x/(x-1) = (1,oo) [[qui fixe 0]]. Invariant : x + x/(x-1)
G0 := MinimalPolynomial(x + x/(x-1)) ;
assert G0 eq (X-1)^3 - t*X  ;
assert Discriminant(G0) eq t^2 * (4*t-27) ;

assert ReciprocalPolynomial(Goo) eq -G0 ;
[/color]

Si je voulais obtenir vraiment le même polynôme minimal, il faudrait que je prenne des invariants conjugués les uns des autres.

PS : j'ai vu ton post sur $\zeta_E /\zeta_\Q$ pour l'histoire de $t := -14$ et du discriminant $-83$.

@moduloP
Pour Noël, un magnifique cadeau : de nouveau les 16 discriminants fondamentaux $D < 0$ tels que le nombre de classes de $\Q(\sqrt D)$ soit 3. Mais accompagnés cette fois d'un polynôme de degré 3 fournissant le corps des classes de Hilbert de $\Q(\sqrt D)$.

[color=#000000]
> NFDB3 := NumberFieldDatabase(3) ;                                     
> S := sub < NFDB3 | -907, -23> ;
> #S ;
112
> TrueDiscriminant := func < E | Discriminant(MaximalOrder(E)) > ;      
> Selection := func < E | IsFundamental(D) and ClassNumber(D) eq 3 where D is TrueDiscriminant(E) > ;
> Noel := [E : E in NumberFields(S) | Selection(E)] ;          
> #Noel ;
16
> [TrueDiscriminant(E) : E in Noel] ;
[ -23, -31, -59, -83, -107, -139, -211, -283, -307, -331, -379, -499, -547, -643, -883, -907 ]
> for E in Noel do F<X> := DefiningPolynomial(E) ; printf "%o %o\n", TrueDiscriminant(E), F ; end for ;
-23 X^3 - X + 1
-31 X^3 + X + 1
-59 X^3 + 2*X + 1
-83 X^3 + X^2 + X + 2
-107 X^3 + X^2 + 3*X + 2
-139 X^3 + X^2 + X - 2
-211 X^3 - 2*X + 3
-283 X^3 + 4*X + 1
-307 X^3 + X^2 + 3*X - 2
-331 X^3 + X^2 + 3*X + 4
-379 X^3 + X^2 + X + 4
-499 X^3 + 4*X + 3
-547 X^3 + X^2 - 3*X + 4
-643 X^3 - 2*X + 5
-883 X^3 + X^2 + 2*X + 12
-907 X^3 + X^2 - 7*X - 12
[/color]

Pour $D = -83$, tu as pu trouver une spécialisation (de sorcier) de $t$ dans $G_t(X) = (X-1)^3 - t(X-2)$, à savoir $t = -512$ from $4t - 27 = 5^2 \times (-83)$ fournissant le corps des classes de Hilbert de $\Q(\sqrt {-83})$.

Et pour les autres discriminants, es tu cap de le faire ?

$\def\f{\mathfrak f}$Merci pour la mise à jour que je n'ai pas encore vraiment lue. Je te donnerais des nouvelles en ce qui concerne tes ``j'admets que''.

J'ai renoncé pour l'instant à comprendre cette histoire de spécialisation de $t$. J'ai plutôt essayé de mieux comprendre ce qui intervenait dans le calcul du polynôme de Weber $W_D(X)$ disons pour un discriminant $D < 0$ vérifiant $D \equiv 1 \bmod 8$. Si on note $\tau_0 = {-1 + \sqrt D \over 2}$, j'ai deviné dans le source magma de l'implémentation des polynômes de Weber que :
$$
\Q(j(\tau_0)) = \Q(x(\tau_0)) \qquad \hbox {avec} \qquad
x(\tau_0)= \cases { \zeta_{48} \f_2(\tau_0) &si $3 \nmid D$ \\ \big(\zeta_{48} \f_2(\tau_0)\big)^3 &si $3 \mid D$}
$$
Et que $W_D$ est le polynôme minimal de $x(\tau_0)$ (qui est un entier algébrique). Et $\Q(\sqrt D, x(\tau_0))$ est le ring class field de l'anneau quadratique de discriminant $D$.

J'aurais aimé le voir écrit noir sur blanc quelque part (dans Cox, Don Zagier & Yui, ....etc... ce n'est pas la littérature qui manque mais pas facile d'y lire les informations rapidement). Tu noteras qu'en utilisant l'expression du j-invariant à l'aide de $\f_2$ (Cox, p. 257), on a en notant $x = \zeta_{48} \f_2$ si $3 \nmid D$ et le cube si $3 \mid D$, l'expression de $j$ comme une fraction rationnelle de $x$
$$
j = {(x^{24} - 16)^3 \over x^{24}} \qquad \hbox {ou bien} \qquad j = {(x^8 - 16)^3 \over x^8}
$$
On a donc, ``en générique'', une inclusion $\Q(j) \subset \Q(x)$ de degré 72 ou 24. Qui devient une égalité quand on évalue les fonctions modulaires en $\tau_0$.

J'ai trouvé un papier de R. Schertz de 2002, écrit en anglais in http://www.numdam.org/article/JTNB_2002__14_1_325_0.pdf. Cet auteur figure dans les références de Cox avec un article en allemand de 1976.