Combien de triangles . . .

Bonjour,

Huit.

Bonsoir,

Ah ben oui, je n'avais pas vu:

(8148, 461005, 461077)
(8094, 1819792, 1819810) 
(8084, 4084437, 4084445)
(8078, 16313520, 16313522)

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Soit $a,b,c$ les côtés entiers non nuls d’un triangle rectangle : $a^2+b^2=c^2$. L’aire est $ab/2.$ Le périmétre est $a+b+c.$ On a $2019=3.673.$ L’équation est donc $ab/2=3.673 (a+b+c).$ Elle est symétrique en $a,b.$
On sait qu’on peut écrire, sans perte de généralité, $a=2uv, b=u^2-v^2,c=u^2+v^2$ avec $0<v<u.$
On reporte et alors $v(u-v)=2.3.673$ et c’est un polynôme de degré $2$ dont la racine entière $v$ divise $2.3.673.$ On a huit diviseurs. Voilà !

Avec les triplets non primitifs je trouve $3^3=27$ solutions.

Bonjour,

J'avais vérifié l'homogénéité des triplets $a^2+b^2=c^2$ mais j'ai oubli la contrainte $ab/2=2019(a+b+c)$ qui n'est pas homogène...

Avec vos notations : on doit compter le nombre de solutions de $kv(u-v)=2.3.673$ avec $k$ non nul. Pour allèger l'écriture, on note $r=2, s=3,t=673$ : l'équation est donc $kv(u-v)=rst.$
Pour $k=1$, on a trouvé : $v=1$, $v=r$, $v=s$, $v=t$, $v=rs$, $v=st$, $v=tr$, $v=rst$ : donc $8.$
Pour $k=r$, on a $v(u-v)=st$ : les solutions sont $v=1$, $v=s$, $v=t$, $v=st$ : donc $4.$
Pour $k=s$, on a $v(u-v)=rt$ : donc $4.$
Pour $k=t$, on a $v(u-v)=rs$ : donc $4.$
Pour $k=rs$, on a $v(u-v)=t$ : les solutions sont donc $v=1$, $v=t$ : donc $2.$
Pour $k=st$, on a $v(u-v)=r$ : donc $2.$
Pour $k=tr$, on a $v(u-v)=s$ : donc $2.$
Pour $k=rst$, on a $v(u-v)=1$ : donc $1.$

C'est faux = Toutes ces solutions sont différentes.

Au total, on trouve donc $8+3 \times 4 + 3 \times 2 + 1=27.$

@jandri écrit $3^3=27$, mais je ne sais pas justifier que le nombre de solutions de $a.b.c=d.e.f$ avec des nombres tous entiers non nuls et $d,e,f$ premiers est $3^3.$

Bonjour,

Oops ! J'ai cru que $u$ est positif par construction, mais c'est faux, par exemple pour $k=v=1$ on a $1-u=2.3.673$ et $u<0.$ Il faut donc éliminer ces solutions... ton $18$ doit ne pas être très loin de la solution ;-).

Bonjour,

@depasse : tu as raison, j'ai écrit $v-u$ alors que c'est bien $u-v$ qui, par construction $kv(u-v)=rst>0$ est positif, et donc $u>0$ : on a donc bien $27$ solutions, que j'écris ci-dessous par $a$ croissants :

             a           b            c
 1        1352        8112       913934
 2        1352     1819792         8094
 3        4040        8080      8160798
 4        4040    16313520         8078
 5        8078    16313520     16313522
 6        8082     5443224      5443230
 7        8084     4084437      4084445
 8        8088     2725650      2725662
 9        8094     1819792      1819810
10        8100     1366863      1366887
11        8148      461005       461077
12        9422       32304        33650
13       10768       20190        22882
[color=#440000]14       12114       16152        20190[/color]
15       13460       14133        19517
[color=#440000]16       16152       12114        20190[/color]
17       20190       10768        22882
18       24228       10095        26247
19       32304        9422        33650
20       56532        8749        57205
21      913934        8112       913970
22     2725650        8088      2725662
23     3631508        8085      3631517
24     5443224        8082      5443230
25     8160798        8080      8160802
26    10878372        8079     10878375
27    32618964        8077     32618965

Mais certaines correspondent aux mêmes triangles puisque $a,b$ jouent un rôle symétrique : par exemple, les solutions numérotées $14$ et $16.$

On élimine les doublons en ne gardant que $a<b$, alors on a $18$ solutions par $a$ croissants :

                    a           b            c
 1        1        8078    16313520     16313522
 2        9        8080     8160798      8160802
 3       13        8082     5443224      5443230
 4        2        8084     4084437      4084445
 5       21        8088     2725650      2725662
 6        3        8094     1819792      1819810
 7       14        8100     1366863      1366887
 8       10        8112      913934       913970
 9        5        8148      461005       461077
10       17        9422       32304        33650
11       23       10768       20190        22882
12       25       12114       16152        20190
13       18       13460       14133        19517
14       26       24228       10095        26247
15       20       56532        8749        57205
16        7     3631508        8085      3631517
17       16    10878372        8079     10878375
18        8    32618964        8077     32618965

Cette fois-ci, toutes ces solutions donnent des triangles différents : $18$ est donc la réponse, non ?

Bonjour

Effectivement je n'avais pas pensé aux doublons,ce qui réduit de $27$ à $18$ le nombre de solutions. La réponse d'Yves confirme celle de Cidrolin seulement dans le cas particulier où $d=2019$. Ce qui me gênait dans la preuve de Cidrolin, c'est le sous-entendu que $a-4d$ et $b-4d$ étaient évidemment positifs.

Voici une preuve qu'ils sont effectivement positifs. Hélas, elle utilise une connaissance dont la preuve de Cidrolin semble se passer: la paramétrisation des triangles de Pythagore sur laquelle nous nous sommes tous jetés sauf lui ;-). Je serais ravi par une preuve qui n'utilise pas cette paramétrisation.

Moyennant $u>v$ et $\{a,b\}=\{u^2-v^2,2uv\}$, $\dfrac12 ab=d(a+b+\sqrt{a^2+b^2})$ se réécrit $v(u-v)=2d$.
S'en suit $2v(u-v)=4d$, puis $(u+v)(u-v)>4d$ (car $u>v$), soit $u^2-v^2>4d$, i.d. i.e $a>4d$ OU $b>4d$. Mais le $(a-4d)(b-4d)=8d^2$ de Cidrolin impose alors $a>4d$ ET $b>4d$.

Amicalement
Paul

Autre observation :

Soit dmin, le plus petit des 2 diviseurs 8k² = dmin * dmax, et soit a = dmin + 4k, le plus petit coté du triangle et b = dmax + 4k et c l’hypoténuse.

On a la relation :

c = b + dmin / pgcd(a,b)