Le pgcd de (a+b) et ab
dans Arithmétique
Bonjour
Bon bah je sèche …
On me dit soient a et b dans N-{0} premiers entre eux. Calculer le pgcd de ab et (a+b).
Je remercie tous ceux (nombreux sans doute :-)) qui vont m'aider.
Cordialement,
Didier.
Bon bah je sèche …
On me dit soient a et b dans N-{0} premiers entre eux. Calculer le pgcd de ab et (a+b).
Je remercie tous ceux (nombreux sans doute :-)) qui vont m'aider.
Cordialement,
Didier.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Merci.
"si un entier divise ab c'est qu'il divise a ou qu'il divise b".
Pourtant, 12 divise 36 mais ne divise ni 9 ni 4....
Ou bien ?
Cordialement.
Si j'ai bien calculé, tu as dû être assez précoce au Lycée.
Dans la décomposition en facteurs premiers de a * b, tu as tous ( et que ) les facteurs premiers de " a " et de " b ".
En revanche, dans la somme a + b, aucun des facteurs premiers de " a " ou " b ". En effet, pour tout facteur premier de " a ", " b " ne vaut pas 0 modulo ce facteur puisqu'il est premier avec " b " et donc avec chacun de ses facteurs premiers. De même, quel que soit le facteur premier de " b " , " a " ne vaut jamais 0 modulo celui ci.
Donc pas de facteur premier commun entre a * b et a + b.
Soit $d$ un diviseur commun de $ab$ et $a+b$. Il divise alors les combinaisons linéaires $a(a+b)-ab=a^2$ et $b(a+b)-ab=b^2$.
Or comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il en est de même de $a^2$ et $b^2$ ; en effet, il existe $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$, d'où en élevant au cube $a^2(au^3+3u^2bv)+b^2(3auv^2+bv^3)=1$. Ainsi $d=1$.
Merci aussi à tous , je vais regarder tout ça en détail car vous avez chacun votre "méthode".
Je lutte, je lutte pour retrouver mon niveau d'il y a 40 ans :-)))
Cordialement.
Merci pour ton aide.
J'ai suivi ton raisonnement, il utilise la décomposition des entiers en produit de nombres premiers. Il démontre que si un nombre premier divise ab et (a+b) alors il ne peut être que 1 puisque a et b sont premiers entre eux.
Comme le pgcd de ab et (a+b) est le produit de diviseurs premiers communs à ab et (a+b) alors il vaut 1.
J'ai bon ?
Cordialement,
Didier.
J'essaye de résoudre le problème initial de ce fil à ma façon, mais je rencontre un problème.
Quelqu'un peut-il avoir la gentillesse de jeter un œil sur ma tentative de démonstration ? Merci.
Voici :
Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors il existe des entiers relatifs $A$ et $B$ tels que $Aa+Bb=1$.
Je suppose qu'on peut même écrire :
$Aa+Bb+kab-kab=1$. $(k\in\mathbb{Z})$
ou encore :
$(A-kb)a+(B+ka)b=1$
voire même, pour $(A-kb)=M$ et $(B+ka)=N$ :
$Ma+Nb=1$ (égalité 1)
A supposer qu'il existe un $k$ tel que $N-M$ soit égal à un multiple non nul de $a$, disons : $N-M=k'a$, on obtient :
$N=M+k'a$
En transposant cette dernière valeur de $N$ dans l'égalité 1, on obtient :
$Ma+(M+k'a)b=1$, ce qui donne :
$Ma+Mb+k'ab=1$, et donc :
$M(a+b)+k'(ab)=1$
où il devient évident, par le thèorème de Bézout, que $(a+b)$ et $(ab)$ sont premiers entre eux.
Il reste à démontrer qu'il existe bien un $k$ tel que $N-M=k'a$.
Les essais effectués sur des nombres fonctionnent bien, mais je n'arrive pas à généraliser.
Merci d'avance pour votre aide.
Sneg
Si l'on suit la relation donnée par Guego ci-dessus, $k=2AB-B^2$ doit convenir.