Le pgcd de (a+b) et ab

@ Didier Suard,

Si j'ai bien calculé, tu as dû être assez précoce au Lycée.

Dans la décomposition en facteurs premiers de a * b, tu as tous ( et que ) les facteurs premiers de " a " et de " b ".

En revanche, dans la somme a + b, aucun des facteurs premiers de " a " ou " b ". En effet, pour tout facteur premier de " a ", " b " ne vaut pas 0 modulo ce facteur puisqu'il est premier avec " b " et donc avec chacun de ses facteurs premiers. De même, quel que soit le facteur premier de " b " , " a " ne vaut jamais 0 modulo celui ci.

Donc pas de facteur premier commun entre a * b et a + b.

Un peu moins compliqué : si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il existe $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$. En élevant au carré, ça donne $a^2u^2+2abuv+b^2v^2 = 1$, qui peut se réécrire $(a+b)(au^2+bv^2)-ab(u-v)^2 = 1$. On en déduit que $a+b$ et $ab$ sont premiers entre eux.

Merci Guego, je cherchais une telle relation de Bezout mais je n'y suis pas parvenu.

Bonjour,

J'essaye de résoudre le problème initial de ce fil à ma façon, mais je rencontre un problème.
Quelqu'un peut-il avoir la gentillesse de jeter un œil sur ma tentative de démonstration ? Merci.
Voici :

Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors il existe des entiers relatifs $A$ et $B$ tels que $Aa+Bb=1$.

Je suppose qu'on peut même écrire :
$Aa+Bb+kab-kab=1$. $(k\in\mathbb{Z})$
ou encore :
$(A-kb)a+(B+ka)b=1$
voire même, pour $(A-kb)=M$ et $(B+ka)=N$ :
$Ma+Nb=1$ (égalité 1)

A supposer qu'il existe un $k$ tel que $N-M$ soit égal à un multiple non nul de $a$, disons : $N-M=k'a$, on obtient :
$N=M+k'a$

En transposant cette dernière valeur de $N$ dans l'égalité 1, on obtient :
$Ma+(M+k'a)b=1$, ce qui donne :
$Ma+Mb+k'ab=1$, et donc :
$M(a+b)+k'(ab)=1$
où il devient évident, par le thèorème de Bézout, que $(a+b)$ et $(ab)$ sont premiers entre eux.

Il reste à démontrer qu'il existe bien un $k$ tel que $N-M=k'a$.
Les essais effectués sur des nombres fonctionnent bien, mais je n'arrive pas à généraliser.
Merci d'avance pour votre aide.

Sneg