Une congruence
dans Arithmétique
Bonjour,
Dans ce papier congruence je suis tombé sur la congruence suivante :
$$
\sum_{l=1}^{p-1} l^k\equiv 0\ [p]
$$
lorsque $p$ est un nombre premier tel que $p-1\not\mid k$. Est-ce que vous en connaissez des preuves plus simples que celles du papier ? Et modulo $p^2$ il y a quelque chose de similaire ?
Merci d'avance, Michal
Dans ce papier congruence je suis tombé sur la congruence suivante :
$$
\sum_{l=1}^{p-1} l^k\equiv 0\ [p]
$$
lorsque $p$ est un nombre premier tel que $p-1\not\mid k$. Est-ce que vous en connaissez des preuves plus simples que celles du papier ? Et modulo $p^2$ il y a quelque chose de similaire ?
Merci d'avance, Michal
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Réponses
L'application des inversibles de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ dans lui-même défini par $\ell \mapsto \ell^k$ est une permutation.
En effet $\ell^k \equiv \ell' ^{k} \,[p]$ implique $\left(\ell\ell'^{-1}\right)^k \equiv 1 \, [p]$. Si $k=1$, on en déduit $\ell = \ell'$. Sinon, comme $\left(\ell\ell'^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1 \, [p]$ (petit théorème de Fermat), l'ordre de $\ell\ell'^{-1}$ divise $k$ et $p-1$ qui sont premiers entre eux, donc $d=1$ et $\ell = \ell'$.
Alors la somme vaut $p \times \frac{p-1}{2} \equiv 0 \,[p]$.
Sous l'hypothèse $p-1\not\mid k$, on n'a plus une permutation par contre.
Je proposerais ça: $\:\:\:p$ est un nombre premier et $k$ un entier naturel non divisible par $p-1$.
$\Z/p\Z^{\times}$ est un groupe cyclique d'ordre $p-1$ engendré par un élément $\overline{a}$ tel que $ a \in [\![1;p-1]\!].\:\:\:$ Alors $\:\:a^k \not\equiv 1 \mod p\:\:$ et:
$ a^k\displaystyle{\sum _{l=1}^{p-1} l^k \equiv \sum_{l=1}^{p-1} (al)^k \equiv \sum_{l=1}^{p-1} l^k \:\mod p}$, d'où l'on déduit: $(a^k-1)\displaystyle{ \sum _{l=1}^{p-1}l^k \equiv 0 \mod p},\:\:$ puis: $\:\displaystyle{\sum_{l=1}^{p-1} l^k \equiv 0 \mod p}$
Soit un nombre impair $p>2$. Si $k$ est un nombre impair, on a modulo $p$ : $$
\sum_{l=0}^{p-1} l^k=\sum_{l=0}^{p-1} (p-1-l)^k=\sum_{l=0}^{p-1} (-1-l)^k=\sum_{l=0}^{p-1}(-1)^k (1+l)^k=-\sum_{l=0}^{p-1}(1+l)^k=-\sum_{l=0}^{p-1} l^k.
$$ D'où $$2\sum_{l=0}^{p-1} l^k\equiv 0 [p]
$$ Soit donc $$
\sum_{l=0}^{p-1} l^k\equiv 0 [p].
$$ Al-Kashi
Al-Kashi
Al-Kashi
Je vais chercher l'erreur dans mon raisonnement.
Al-Kashi
Soit un nombre impair $p>2$. Si $k$ est un nombre impair, on a modulo $p$ : $$
\sum_{l=0}^{p-1} l^k=\sum_{l=0}^{p-1} (-l)^k=-\sum_{l=0}^{p-1} l^k.
$$ D'où $$2\sum_{l=0}^{p-1} l^k\equiv 0 [p]
$$ Soit donc $$
\sum_{l=0}^{p-1} l^k\equiv 0 [p].
$$ Al-Kashi