Loi de réciprocité quadratique

Apollonius · December 2018

Bonjour,
ce message pour la loi de réciprocité quadratique pour les polynômes. En effet, $F_q$ un corps fini, $P$ et $Q$ deux polynômes irréductibles, $P$ est un carré modulo $Q$ s'il existe $R$ tel que $P=R^2\mod(Q)$. Je définis le symbole de Legendre $(P,Q)$ et je montre la loi de réciprocité quadratique pour les polynômes : $$(P,Q)(Q,P)=(-1)^{\deg P\deg Q}$$ si $q=3\mod4$ et $1$ si $q=1\mod4$.
Merci pour vos commentaires,
Apollonius

Joaopa · December 2018

C'est bien. Tu n'as jusque que 150 ans de retard sur Dedekind.

Apollonius · December 2018

Il y en a qui ont 2019 ans de retard...

reuns · December 2018

Cet article http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-09/S0002-9939-08-09327-1/S0002-9939-08-09327-1.pdf propose d'utiliser que $\prod_{A \bmod PQ, sign(A) \in (F_q^*)^2, (A,PQ) = 1} A \equiv (-1)^{(|P|-1)/2} (\frac{P}{Q}) \bmod PQ$ où $|P|= q^{\deg(P)}$ et $sign(A)$ le coefficient de $\deg(A)$

Apollonius · December 2018

Pourquoi n'a-t-on pas $sgn(A) \in F_q$ ?

Math Coss · December 2018

Attention : ici, $(F_q^*)^2$, ce sont les carrés de $F_q^*$, pas les couples.

Apollonius · December 2018

Merci. J'ai aussi une démonstration inspirée de celle d'Eisenstein sur la loi de réciprocité quadratique de Gauss.

Joaopa · December 2018

Carlitz (en utilisant son module !!) a même déterminé les lois de réciprocités supérieures. On s'est rendu compte qu'il avait été précédé dans un article inconnu par Ore (qui lui n'était pas un inconnu...)

Loi de réciprocité quadratique

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