Loi de réciprocité quadratique
dans Arithmétique
Bonjour,
ce message pour la loi de réciprocité quadratique pour les polynômes. En effet, $F_q$ un corps fini, $P$ et $Q$ deux polynômes irréductibles, $P$ est un carré modulo $Q$ s'il existe $R$ tel que $P=R^2\mod(Q)$. Je définis le symbole de Legendre $(P,Q)$ et je montre la loi de réciprocité quadratique pour les polynômes : $$(P,Q)(Q,P)=(-1)^{\deg P\deg Q}$$ si $q=3\mod4$ et $1$ si $q=1\mod4$.
Merci pour vos commentaires,
Apollonius
ce message pour la loi de réciprocité quadratique pour les polynômes. En effet, $F_q$ un corps fini, $P$ et $Q$ deux polynômes irréductibles, $P$ est un carré modulo $Q$ s'il existe $R$ tel que $P=R^2\mod(Q)$. Je définis le symbole de Legendre $(P,Q)$ et je montre la loi de réciprocité quadratique pour les polynômes : $$(P,Q)(Q,P)=(-1)^{\deg P\deg Q}$$ si $q=3\mod4$ et $1$ si $q=1\mod4$.
Merci pour vos commentaires,
Apollonius
Réponses
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C'est bien. Tu n'as jusque que 150 ans de retard sur Dedekind.
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Il y en a qui ont 2019 ans de retard...
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Cet article http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-09/S0002-9939-08-09327-1/S0002-9939-08-09327-1.pdf propose d'utiliser que $\prod_{A \bmod PQ, sign(A) \in (F_q^*)^2, (A,PQ) = 1} A \equiv (-1)^{(|P|-1)/2} (\frac{P}{Q}) \bmod PQ$ où $|P|= q^{\deg(P)}$ et $sign(A)$ le coefficient de $\deg(A)$
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Pourquoi n'a-t-on pas $sgn(A) \in F_q$ ?
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Attention : ici, $(F_q^*)^2$, ce sont les carrés de $F_q^*$, pas les couples.
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Merci. J'ai aussi une démonstration inspirée de celle d'Eisenstein sur la loi de réciprocité quadratique de Gauss.
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Carlitz (en utilisant son module !!) a même déterminé les lois de réciprocités supérieures. On s'est rendu compte qu'il avait été précédé dans un article inconnu par Ore (qui lui n'était pas un inconnu...)
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