Nombres premiers

gafa · December 2018

Bonjour tout le monde :
Je voudrais bien partager avec notre aimable groupe "membres de la communauté les-Mathematiques.net "une belle formule que j'ai trouvée [il y a] pas mal de temps (disons environ 4 ans) et laquelle était restée dans l'oubli jusqu'à un jour où je l'ai comparée avec Li(x). J'ai été surpris parce que les valeurs données par ma formule étaient meilleures que celles de Li(x).
Je serais content que notre groupe " les-Mathematiques.net " aura le privilège d'annoncer cette belle formule.
Je vous laisse donc l'occasion de vérifier la formule que je nomme G(N) ou" formule de Gafa ", et qui sera suivie d'autres formules inédites et intéressantes concernant les nombres premiers (domaine qui me fascine depuis presque 30 ans).
Faute de mes faibles connaissances du latex, la formule est dans la pièce jointe.
Merci pour votre attention. 82914

Poirot · December 2018

Cette formule est connue depuis 1896. Tu as l'air de sous-entendre que $G$ ne prend que des valeurs entières, ce qui m'a l'air faux. Si tu veux vraiment comparer à des formules connues, il faut commencer par faire des comparaisons sur de grands nombres de valeurs, par ordinateur. Et $Li(x)$ n'est pas la meilleure approximation connue, tu devrais regarder d côté de la fonction $R$ de Riemann.

Al-Kashi · December 2018

Salut Poirot,

Pourrais tu nous donner une référence de cette formule.
Je ne la connaissais pas et je suis curieux de savoir comment on l'obtient en tant qu'approximation de la fonction de comptage du nombre de nombres premiers.

Al-Kashi

gafa · December 2018

Vous n'avez qu'à essayer vous même avec de très grands nombres de n'importe quel ordre et faire une comparaison. En réponse de ce que vous avez dit je ne pense pas qu'une telle formule existe sinon veuillez nous donner une preuve.
De toute façon merci pour votre attention

Poirot · December 2018

@Al-Kashi : il s'agit juste de faire IPP successives dans la définition de $Li(x)$. On trouve en terme principal la même somme que ci-dessus, mais sans les parties entières aux dénominateurs.

Poirot · December 2018

@gafa : ce n'est pas à moi de faire les calculs pour me convaincre que ta formule est "efficace", c'est à toi de le faire si tu veux nous en convaincre !

gafa · December 2018

Il n y a pas de de référence Mr mais c'est juste un travail personnel

gafa · December 2018

Ok Mr, Donnez-moi un nombre assez grand de votre choix

Poirot · December 2018

Ce n'est pas un nombre dont j'ai besoin, c'est une comparaison sur un grand nombre de données !

gafa · December 2018

Mais Mr la formule est claire vous n'avez qu'à faire vous-même des comparaisons. Je m'excuse si je n'ai pas bien compris ce que vous voulez par là

michael · December 2018

La preuve incombe à celui ou celle qui affirme, gafa.

nodgim · December 2018

Que vaut G ( 10 ^ 14 ) ?

Shah d'Ock · December 2018

Je suis un peu surpris que la borne de la somme soit en terme du logarithme décimal et non népérien...

gafa · December 2018

Il faut un ordinateur puissant mais bon le mien donne environ : 3204941913958 82946

lourrran · December 2018

Au cas où cette formule passerait à la postérité, je vais apporter ma contribution. Au lieu de ([log n]+2)/2, on peut simplement mettre [(log (n)+1)/2].
Ca évite d'avoir 2 formules différentes pour les cas pairs et impairs. Et ça fait beaucoup plus propre.

Ceci dit, je doute que cette formule passe à la postérité.
Entre N = 9 999 999 999 999 et N = 10 000 000 000 000, N augmente de 1, et G(N) augmente de plus de 300 000. On va voir le verre à moitié pein, et pas le verre à moitié vide, on va dire que pour N= 9 999 999 999 999, l'estimation était 150 000 en-dessous de la réalité, et pour N= 10 000 000 000 000, l'estimation est 150 000 au-dessus de la réalité. Mais on est dans des valeurs de N pas très élevées, et on a déjà une marge d'erreur de 150 000 ?

gafa · December 2018

Merci pour votre remarque Mr Lourran. Vous avez dit vrai parce que ma formule peut être améliorée pour être très efficace. Je vous remercie de votre remarque.

nodgim · December 2018

G(10 ^ 14) = P(10 ^ 14) + 163156,.......P() étant le nombre exact.

C'est meilleur que Li() avec un écart de 314890 mais moins bon que R() avec un écart de 19200.

reuns · December 2018

@gafa : La formule explicite de Riemann $\psi(x) = \sum_{p^k \le x} \log p = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho}- \log(2\pi)/2 - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{-2n}}{-2n}$

permet d'expliciter le terme d'erreur de ce que donne ta formule pour $\Pi(x) = \sum_{p^k \le x} \frac{\log p}{\log p^k} = \sum_{k \le \log_2(x)} \frac{\pi(x^{1/k})}{k}$ et pour $\pi(x)$

latex n'est pas difficile, tu peux cliquer sur "citer" pour voir le code qu'on tape.

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