Exercice
dans Arithmétique
Bonjour,
Pour enterrer dignement 2018, je vous propose un petit exercice : en notant $ \pi(x) $ le nombre de nombres premiers n'excédant pas $ x $ et $ \tau(n) $ le nombre de diviseurs de $ n $ , montrer que $\displaystyle{\sum_{1\leq n\leq x}\dfrac{2^n}{\tau(n)^n}}-\pi(x)\lt\dfrac{61}{27} $.
Bon réveillon et bonne année 2019.
Pour enterrer dignement 2018, je vous propose un petit exercice : en notant $ \pi(x) $ le nombre de nombres premiers n'excédant pas $ x $ et $ \tau(n) $ le nombre de diviseurs de $ n $ , montrer que $\displaystyle{\sum_{1\leq n\leq x}\dfrac{2^n}{\tau(n)^n}}-\pi(x)\lt\dfrac{61}{27} $.
Bon réveillon et bonne année 2019.
Réponses
-
1ère idée : On note que, si $n \geqslant 4$ est non premier, alors $\tau(n) \geqslant 3$. Ainsi, si $S(x)$ est ta somme,
$$S(x) < 2 + \pi(x) + \sum_{n=4}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^n = \pi(x) + \frac{70}{27}.$$
On peut améliorer en séparant les carrés des autres : si $n > 1$ est non premier et non carré, alors $n \geqslant 6$ et $\tau(n) \geqslant 4$ est pair, et si $n=m^2$ est composé, alors $\tau(n) \geqslant 3$ et $m \geqslant 2$, d'où
\begin{align*}
S(x) & = 2 + \pi(x) + \sum_{\substack{n \leqslant x \\ n \ \textrm{composé} \\ n \ \textrm{non carré}}} f(n) + \sum_{\substack{n \leqslant x \\ n \ \textrm{composé} \\ n \ \textrm{carré}}} f(n) \\
& \leqslant 2 + \pi(x) + \sum_{n=6}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^n + \sum_{m=2}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^{m^2} \\
& < \pi(x) + \frac{65}{32} + 0,22511 < \pi(x) + 2,25636.
\end{align*} -
Merci noix de totos. Peut-on montrer, en notant $ C $ la limite quand $ x $ tend vers l'infini de $ S(x)-\pi(x) $, que pour tout $ x\geq 3 $, $ \pi(x) $ est l'entier le plus proche de $ \displaystyle{\sum_{1\leq n\leq x}\left(\dfrac{2^n}{\tau(n)^{n}}-\dfrac{C}{n(\log x+\gamma)}\right)}$ où $ \gamma $ est la constante d'Euler-Mascheroni ?
-
Ça ne me paraît pas simple à première vue.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres