Exercice

1ère idée : On note que, si $n \geqslant 4$ est non premier, alors $\tau(n) \geqslant 3$. Ainsi, si $S(x)$ est ta somme,
$$S(x) < 2 + \pi(x) + \sum_{n=4}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^n = \pi(x) + \frac{70}{27}.$$
On peut améliorer en séparant les carrés des autres : si $n > 1$ est non premier et non carré, alors $n \geqslant 6$ et $\tau(n) \geqslant 4$ est pair, et si $n=m^2$ est composé, alors $\tau(n) \geqslant 3$ et $m \geqslant 2$, d'où
\begin{align*}
S(x) & = 2 + \pi(x) + \sum_{\substack{n \leqslant x \\ n \ \textrm{composé} \\ n \ \textrm{non carré}}} f(n) + \sum_{\substack{n \leqslant x \\ n \ \textrm{composé} \\ n \ \textrm{carré}}} f(n) \\
& \leqslant 2 + \pi(x) + \sum_{n=6}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^n + \sum_{m=2}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^{m^2} \\
& < \pi(x) + \frac{65}{32} + 0,22511 < \pi(x) + 2,25636.
\end{align*}

Ça ne me paraît pas simple à première vue.