Groupe de décomposition et cyclotomie.

Bon, vu que ça me casse les pieds de ne pas trouver un énoncé, je m'y colle et je prends le risque de me prendre les pieds sur un peau de banane :-D Si quelqu'un à le courage de lire, ca doit peut-être être un peu pénible !

Pour un entier $N$ un entier strictement positif. Je note $\Q(N)$ le corps engendré sur $\Q$ par une racine primitive $N$-ième de l'unité.

Soit $m$ un entier strictement positif. Soit $p$ un nombre premier. Je note $m'$ l'unique entier premier à $p$ tel qu'il existe $a$ tel que $m = p^a \times m'$. Je note : $\pi : \left( \Z / m \Z \right)^\star \to \left( \Z / m' \Z \right)^\star$ la projection canonique. Je note : $\zeta_m$ une racine $m$-ième de l'unité et $\zeta_{m'} := \zeta_m^{p^a}$ ; $\zeta_{m'}$ est alors une racine $m'$-ième de l'unité.

Je considère les deux isomorphismes suivants :
$$
\begin{array}{l|rcl}
\mathcal{F}_m : & \left( \Z / m \Z \right)^\star & \longrightarrow & \text{Gal}(\Q(m) \mid \Q) \\
& \ell \pmod{m} & \longmapsto & \big[ \zeta_m \mapsto \zeta_m^\ell \big]
\end{array}
\qquad \text{et} \qquad
\begin{array}{l|rcl}
\mathcal{F}_ {m'} : & \left( \Z / m' \Z \right)^\star & \longrightarrow & \text{Gal}(\Q(m') \mid \Q) \\
& \ell \pmod{m'} & \longmapsto & \big[ \zeta_{m'} \mapsto \zeta_{m'}^\ell \big]
\end{array}
$$

Je dispose d'un diagramme commutatif :
$$\xymatrix {
\left( \Z / m \Z \right)^\star \ar[d]_{\pi} \ar[r]^{\mathcal{F}_m} & \text{Gal}(\Q(m) \mid \Q) \ar[d]^{\text{Res}}\\
\left( \Z / m' \Z \right)^\star \ar[r]^{\mathcal{F}_{m'}} & \text{Gal}(\Q(m') \mid \Q) \\
}$$

Soit $\mathfrak{P}$ un idéal premier de $\mathcal{O}_{\Q(m)}$ tel que $\mathfrak{P} \cap \Z = p \Z$. Alors :
$$
\text{D}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) = \mathcal{F}_m \Big( \pi^{-1} \big( \langle p \pmod{m'} \rangle \big) \Big) \qquad \text{et} \qquad \text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) = \mathcal{F}_m \Big( \text{Ker}(\pi) \Big)
$$

Donc je propose la démonstration suivante :

Je commence par le petit diagramme des extensions :
$$\xymatrix {
& \Q(m) \ar@{-}[dl] \ar@{-}[dr] & \\
\Q(p^a) \ar@{-}[dr] && \Q(m') \ar@{-}[dl] \\
& \Q &
}$$

Je numérote les points.


1. $p$ est non ramifié dans $\Q(m') \mid \Q$ i.e $\text{I}(\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_{\Q(m')}, \Q(m') \mid \Q) = \{ \text{Id} \}$.

2. On a :
$$ \text{Res} \Big( \text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) \Big) = \text{I}(\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_{\Q(m')}, \Q(m') \mid \Q) $$

3. De $1$ et $2$, on déduit que :
$$
\text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) \subset \text{Ker}(\text{Res})
$$

4. On a :
$$
\text{Ker}(\text{Res}) = \mathcal{F}_m \big( \text{Ker}(\pi) \big)
$$

5. On déduit de $4$ et de la définition de $\pi$ que :

$$
\# \text{Ker}\big(\text{Res} \big) = \phi(p^a) $$

Et on déduit de $3$ que :
$$
\# \text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) \leq \phi(p^a)$$

6. Maintenant, $p$ est totalement ramifié dans $\Q(p^a) \mid \Q$. Ceci veut dire que $$ \# \text{I}(\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_{\Q(p^a}, \Q(p^a) \mid \Q) = \big[ \Q(p^a) \mid \Q \big] = \phi(p^a)$$

7. Par multiplicativité des indices de ramification dans les tours de corps, on déduit de $6$ que :
$$
\# \text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) \geq \phi(p^a)$$

Et par $5$ la deuxième équation, on obtient l'égalité $ \# \text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) = \phi(p^a)$. Et par, la premier équation de $5$ et $3$, on obtient que :
$$
\text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) = \text{Ker}(\text{Res}) \qquad \text{et} \qquad \text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) = \mathcal{F}_m \Big( \text{Ker}(\pi) \Big)
$$


Là ça démontre la deuxième partie de ce que j'ai annoncé.

Maintenant pour le groupe de décomposition.

8. On a :
$$
\text{Ker}(\text{Res}) = \text{I}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) \subset \text{D}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q)
$$

9. Comme $\text{Res}$ est une surjection, l'application image direct par $\text{Res}$ induit une bijection entre les sous-groupe de $\text{Gal}(\Q(m) \mid \Q)$ contenant $\text{Ker}(\text{Res})$ et les sous-groupe de $\text{Gal}(\Q(m') \mid \Q)$ la bijection réciproque étant donnée par l'image réciproque. Et par conséquent :
$$
\text{D}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) = \text{Res}^{-1} \Big( \text{Res} \big( \text{D}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) \big) \Big)
$$

10. Maintenant on a :
$$
\text{Res} \big( \text{D}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) \big) = \text{D}(\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_{\Q(m')}, \Q(m') \mid \Q)
$$

11. Là on utilise les choses non ramifiée pour dire que :
$$
\text{D}(\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_{\Q(m')}, \Q(m') \mid \Q) = \mathcal{F}_{m'} \big( \langle p \pmod{m'} \rangle \big)
$$


12. par commutativité du diagramme, on a : $$ \text{Res}^{-1} \circ \mathcal{F}_{m'} = \mathcal{F}_m \circ \pi^{-1}$$
Attention je parle d'image direct et d'image réciproque.

14. Par $9$, $10$ $11$ et $12$, on obtient :
$$
\text{D}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) = \text{Res}^{-1} \Big( \text{Res} \big( \text{D}(\mathfrak{P}, \Q(m) \mid \Q) \big) \Big) = \text{Res}^{-1} \Big( \mathcal{F}_{m'} \big( \langle p \pmod{m'} \rangle \big)
\Big) = \mathcal{F}_m \circ \pi^{-1} \big( \langle p \pmod{m'} \rangle \big)
$$

Bon en fait, je pense que c'était pas une bonne idée de mettre les isomorphismes $\mathcal{F}_m$ etc ça alourdi le truc pour pas grand chose, trop tard ! J'ai mis en rouge les choses qui demande plus de justifications $6$ et $11$ sont liées à la cyclotomie (le $11$ c'est ce que Lou 16 fait) et le reste c'est des choses formelles !